市面上能够买到的《常微分方程》教材不可谓不多，选一本拿来教是最省事的办法.然而在教学和科研活动中我们发现并深切体会到“常微分方程”这门课程从其诞生之日起，就根植在生产和生活实际之中，并且伴随着物理和其他工程学科（比如生物工程、信息工程、环境工程甚至人口与计划生育工程）的发展而不断丰富和发展，几乎每年都有从实际问题中产生的微分方程需要求解和讨论解的性质.于是我们决定编写这本教材，除了保持微分方程原有体系和理论完整外，本教材主要突出“发展”和“建模”两个观点.

1. 微分方程发展的思想贯穿始终

我们的做法并不是在书的前面或其他地方加上些发展史的内容，而是使“发展的思想”贯穿始终，当然强调微分方程的早期发展，这些发展是随着课程内容逐渐渗透到教材中的.我们向学生阐明：每一个完善的定义、严密的定理实际上是数学百花园中的“果子”，我们讲数学的严谨性、完美性是通过这些果子体现的.然而果子的成长成熟过程是需要时间和劳动的.首先果树要经过播种、发芽阶段，出土以后需要阳光雨露的滋养、需要除虫、施肥的培育，也需要抵御风霜雪雨的侵害.这个成长过程是漫长的，中间需要经过许多科学家园丁般的辛勤努力.果子是甜美的，然而要培育出自己的果子，必须使学生们透过果子去了解果树的成长过程，了解科学园丁们不懈的思考和劳作.比如对里卡蒂（Riccati）方程的认识，充分体现了这个过程.

里卡蒂方程

dydx=p(x)y2+q(x)y+r(x)（0.1）

是形式上最简单的非线性常微分方程，在历史上和近代，在理论和实际中都有重要应用.关于里卡蒂方程有两个重要定理.

定理1设已知里卡蒂方程（0.1）的一个特解φ（x），则可以用初等积分法求得它的通解.

定理2

设有里卡蒂方程

dydx+ay2=bxm，（0.2）

其中a，b，m都是常数，且设a≠0及x≠0,y≠0.则当

m=0,－2,－4k2k+1,－4k2k－1(k=1,2,…)

时，方程（0.2）可以通过适当的变量变换化成变量可分离方程.

定理2充分性的证明是在1725年由法国数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）（1700—1782）做出的.而其必要性的证明直到1841年才由另一位法国数学家刘维尔（Liouville） （1809—1882）给出.在丹尼尔·伯努利做出贡献的年代，对微分方程的研究主要集中在对出现在重大的实际力学问题中的微分方程的解析求解上.包括牛顿、莱布尼茨在内的许多数学家如伯努利（家族）、欧拉、高斯、拉格朗日和拉普拉斯等在这方面都做出了突出贡献.但是在对这些微分方程求解的过程中，数学家们也逐渐发现很多微分方程的解不能用初等函数表示出来.于是人们开始另辟新径，探讨在不求出微分方程解的情况下，直接从方程的结构出发，分析方程解的重要性质.因此，1841年刘维尔关于里卡蒂方程第二个定理必要性的证明成了微分方程发展史上里程碑式的工作.因为这个必要性告诉人们：形式很简单的常微分方程

dydx=x2+y2

不能用初等积分法求解！此后以解的存在性、唯一性以及解的各种性质的研究为内容的微分方程论才成为微分方程研究的又一方向，使微分方程的发展进入了一个多元化时期.

因此，在教材的编写过程中，我们力图循着常微分方程发展的脚步，逐渐将这门学科的主要内容连同它们发展的重要里程碑展现在读者面前，读此书更像做一次探寻微分方程发展之路的探险之旅，不但学到知识，更领略数学大师的思想痕迹，并从中得到启发.我们在课上课下总是跟

学生讲，学过一门课会做若干道题不是大学生学习的主要目的，主要目的是以知识为载体，学习产生知识的思想.因为只有思想才是创造的源泉，而形成思想的好办法就是与大师“攀谈”、“对话”，在深入的交流与询问之中碰撞出思想的火花.

这样，在学习每个知识点的时候，在感觉上这些知识点就不是孤立的、抽象的、难涩的数学概念和定理，而是充满着科学思辨、螺旋式发展以及智者思想光芒的事件、成果.这样由微分方程发展史引领知识点展开主线的方法将把读者引入知识的殿堂、智慧的宝库，徜徉其中，定会受益匪浅. 微分方程的现代发展我们是通过建模的思想来体现的.

2. 微分方程“建模”的思想贯穿始终

   前面已经提到过，微分方程的发展一直伴随着物理和其他应用学科的发展.每年都有新的有实际背景的微分方程出现，这些新的微分方程给微分方程这门古老的学科注入了新的活力.在教学过程中，我们注意强调知识的应用性、鲜活性，注意知识的“源”和“流”之间的关系.这种思想是通过微分方程模型的思想来体现的.我们的做法仍然是使这种思想贯穿教材的始终，而不只是在一个章节中讲完.比如在讲高阶方程的解法时，我们不只是讲了悬链线方程的解法，而是讲了悬链线的建模过程，使这个古老的工程问题成为讲“建模”思想的很好的例子，并且可以通过这个例子使学生思考，如果这个“线”是运动的，结果会怎样？通过这样的思考，偏微分方程中的“弦振动”问题就迎刃而解了，知识之间都是相互关联的！

再比如在讲微分方程定性理论的时候，以往的教科书中很少举例，而给学生的印象是这部分内容很抽象、难懂，理解了也不会应用.在我们的教材中在“相空间”理论和“稳定性”理论部分都加上与生产和生活实际密切相关的微分模型的例子——传染病动力学模型和捕鱼业可持续发展的模型，不但有助于学生对内容的理解，更启发学生对知识的灵活掌握，培养他们初步科学研究的能力.

本教材除了突出以上两点外，在线性方程（组）的处理上，应用高阶方程和一阶方程组之间的等价关系，将高阶方程和方程组统一起来讲，这样使知识容易理解并且无需记忆关于线性方程和方程组两套定理.对使用首次积分法等方法求解非线性方程和方程组也有好处.总之，我们是用心的，我们在努力！教材在出版以前，作为讲义已经使用多次，学生反映和教学效果很好，但由于我们水平有限，书中还会有很多不足甚至错误，敬请各位读者朋友批评指正、不吝赐教.先致谢意！

本书由郭玉翠执笔，参加编写的还有单文锐、吕卓生、石霞、陈秀卿和田玉.

本书作者感谢北京邮电大学教务处精品课程建设资金的支持，感谢各位师友和读者的支持.

作者

2010年7月