前言  

概率论是研究随机现象的数量规律的一门数学学科.

在自然界及人类社会中存在着两类现象: 一类称为确定性现象，其特征是在一定的条件下某一结果必然发生；另一类称为随机现象，它的特点是: 在基本条件不变的情况下，并不总是出现相同的结果，并且事先并不知道究竟哪一个结果会出现.这两种现象都广泛地存在于自然和社会现象中.例如在恒力的作用下，物体必然做匀加速运动就是一个确定性现象；而在同样条件下连续地抛掷一枚硬币，每一次的结果都有正面或反面两种可能，并且事先并不能确定究竟哪一面会出现，这就是一个随机现象.

对于确定性现象的研究通常都是研究其确定性的规律，从而可以确定无疑地知道在哪些条件下出现哪一确定的结果.比如在只有重力作用的情况下，质点的位移s(t)与时间t的关系就可以由一个确定的方程s" (t)=g来描述，其中g是重力加速度.

概率论对随机现象的研究则不同，它并不是企图追溯影响每一结果出现的所有因素（通常这也不可能做到或成本极高），从而像研究确定性现象那样找到条件和结果之间的确定关系，而是试图去发现各种结果出现的可能性的大小，即其数量规律.例如抛掷一枚硬币，概率论的研究并不是去寻找影响结果会出现正面还是反面的所有因素（这显然也不太可能），而是通过连续多次地在同一条件下投掷同一枚硬币，发现出现正面或反面的频率逐渐稳定在12,从而揭示“正面出现”这一结果发生的可能性大小为12.

概率论   前  言作为一个数学学科的概率论同之前的几何学或分析学科一样，都需区分其理论的3个方面:  (1)直观背景； (2)公理化体系及基于其上的逻辑推理； (3)应用.关于概率论中这三者的关系可以用一个简单的例子加以说明: 还是考虑一个抛硬币的简单实验，这个实验显然具有很明显的直观意义，概率论要做的首先是将这一直观实验翻译成一个抽象的模型，然后加以推广，使其能够适用于更复杂的场合.在本书中也会用很多实际的例子来描述各种模型的直观背景从而启发读者的直观能力，但是理论本身当然还是数学性质的.

概率论的研究同样呈现出理论与应用的相互作用的现象.概率论已经被广泛应用于各个学科，从这些应用之中反过来又产生出新的理论问题.而概率论作为一个数学理论，也同样具有一个普遍性理论所具有的那种灵活性.它为各种应用提供恰当的工具而并不局限于某些特定领域.本书的重点放在逻辑推理上，证明一些定理，并指出这些定理该如何应用.这也是概率论研究的重心所在.但是了解概率论的一些直观背景和应用对于更深入地学习，更深刻地了解概率论是很有帮助的.在本书中也会介绍一些这方面的内容.

概率论的研究历史悠久，它的起源和赌博问题有关.17世纪法国贵族德·梅尔(De Mere)向数学家帕斯卡提出了如下分赌注的问题: 甲乙两个赌徒各押赌注32个金币,双方约定，甲如果先掷出3次6点，或者乙先掷出3次4点，就算赢了对方. 赌博进行了一段时间，甲已经2次掷出6点，而乙已经掷出1次4点.这时候赌博因故中断了.这就碰到一个问题: 两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？帕斯卡接受了这个问题，但是他没有立即回答，而是把它交给了另一位法国数学家费马.二人在通信中围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究.这是在1654年，也被认为是概率论诞生的一年.之后荷兰科学家惠更斯也加入了此问题的研究.帕斯卡、费马和惠更斯3个人分别给出了3种不同的解法.

在解决“分赌注问题”的过程中帕斯卡和费马亲自做赌博实验，仔细分析、计算了赌博中出现的各种问题，最终完整地解决了该问题，并把该题的解法做了进一步验证.他们建立了概率论的一个基本概念--数学期望.而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题.1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》.这本书被认为是关于概率论的最早的专著.因此一般认为概率论的真正创立者是帕斯卡、费马和惠更斯.概率论发展的初期，主要是采用这3人的做法，即基于排列组合的方法，计算各种古典概率.这一时期也被称为组合概率时期.

在他们之后，雅各布·伯努利继续分析了赌博中的其他问题，给出了另一著名问题“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律.这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果.随后棣莫弗和拉普拉斯又建立了第2个基本极限定理--棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理.

将古典概率论推向近代概率论的是法国数学家拉普拉斯.他在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》 (1812年出版）.首先明确给出了概率的古典定义，同时在概率论中引入了更有力的数学分析工具；并建立了观测误差理论和最小二乘法.

19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李雅普诺夫等人用分析方法建立了大数定律和中心极限定理的一般形式.而在20世纪初，由于科学技术的发展特别是物理学的迫切需要，随机过程开始受到关注并成为此后概率论研究的中心.1906年，俄国数学家马尔可夫提出了所谓“马尔可夫链”的数学模型.1934年，苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论.此外，数学家维纳、莱维、费勒等人也做出了杰出的贡献.

如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率诞生时人们就关注的问题，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，此问题一直拖了近300年才得以解决.20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理化体系的建立奠定了基础.在这种背景下，1933年柯尔莫哥洛夫在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系.他的公理体系很快为人们所接受并成为了现代概率论的基础，使概率论成为了一个严谨的数学分支.之后概率论的理论研究得到了飞速发展，这些理论的发展主要体现在随机过程及随机分析等方面.诸如马尔可夫过程、鞅论、布朗运动、莱维过程及随机微积分、Malliavin分析等的理论及应用等都受到了广泛关注，产生了许多重要的成果.

概率论的应用主要是借助于数理统计学的应用而体现的，而数理统计学目前已成为在几乎任何领域诸如自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等领域中都不可缺少的工具.另外，随机过程、随机分析的理论也在很多领域(例如信息、工程、物理、经济等)有着越来越重要的应用.特别是近些年来它对数理金融学科的发展起到了至关重要的作用.

文献评述

关于概率论的研究方法与其他数学学科的不同，在M.费史的《概率论与数理统计》中开始的部分就提供了一个很好的例子.另外,在严士健等人《概率论与数理统计》引言中也有阐述.

关于概率论理论研究的3个方面的阐述，详细的可以参考W.费勒的《概率论基础》第0章的内容.

概率论的发展历史在很多书中都有介绍，但是本书作者没有找到这方面系统介绍的资料.读者可以在网络上搜索到这方面的内容.

适当的例子对深入的理解概率论理论是非常重要的，在Ross的《概率论基础教程》中有很多很好的例子.

致射

本书得到了清华大学出版社刘颖和赵从棉编辑的大力支持，中国人民大学统计学院为本书的编写提供了部分资金支持，统计学院的张波教授一直关心本书的编写并促成了本书的出版，研究生李贞贞、毛燕妮、曹凯、魏太云为书稿的打印、画图等付出了辛勤的劳动，在此表示由衷感谢.

由于编者水平有限，本书难免存在错缪之处，恳请读者批评指正.