前言
21世纪飞速发展的科学技术与人类的生产实践，对科技人员的素质、知识与能力提出
了新的要求。自然科学、社会科学等各个领域中的从业者，在数学思维水平、数学科学
知识、数学应用能力方面所具备的基础，也达到了前所未有的高度。高等数学远远不能满足新的需求，近代数学的思维、概念、理论、方法已经悄然渗透，由高端变为基础，由理论变为现实，由指导性的方向变为科学中的实践。于是，继高等数学之后，一本介绍近代应用数学的教程编写迫在眉睫。
近代数学所包含的范围之广，知识面之宽，内容之深，非简单几句话所能概括。为了给自然科学的主体类（如物理学、天文学、化学、计算机科学、地球科学、生命科学等）的学生准备必要的近代数学知识，南京大学在20世纪90年代，首先在基础学科教学强化部开设了继高等数学之后的半年近代数学的课程，但未正式命名，而是作为高等数学的第四个学期而设置的，周学时为5的必修课。其内容涵盖勒贝格积分、微分几何等，使学生受益匪浅。
随着教学改革的深入和新世纪的到来，我们把勒贝格积分编写到高等数学教程中，把非数学类学生所需的近代数学知识集中在一起，从2006年开始编写教材，2007年、2009年两次印制成讲义，并在南京大学匡亚明学院开设了为时半年的近代应用数学课程，这就是本书的雏形。对于匡亚明学院的理科强化部、物理、天文类的学生，我们采用边教边修改教学内容的方式，逐步完善而成为目前的书稿。
本书的内容安排如下：
第1章介绍集合论与近世代数基础。在集合论部分，包括集合的概念、集合的运算与集合的重要性质； 关于近世代数部分，重点放在群的结构上。特别强调如何由已知的群生成新的群（子群、积群、商群），以及这些新生群的运算结构。通过生成新群的思路，显示出近代应用数学的思维方法，这在本课程中是重中之重。
第2章是线性空间与线性变换。一方面是高等数学中线性代数的继续，另一方面是近世线性代数所涵盖的一部分数学基础，涉及正交几何与辛几何的结构，这在近代数学、近代物理与天文学中都起着重要作用。此外，从线性算子空间的高度，进一步认识线性空间与线性变换； 从多重线性代数的角度认识张量空间等，都为学生理解与应用近代数学打下坚实的基础。
第3章集中介绍点集拓扑知识。集合的拓扑结构与集合的运算结构相平行，共同构成近代数学对集合的重要处理方式，也是近代数学的重要思维方法之一。具有拓扑结构的集合称为拓扑空间。拓扑的概念来自实践，来自欧氏空间，但它高度抽象，不仅蕴含了精致的数学思维，而且成为近代应用数学中必不可少的重要概念之一。这里也要特别强调两点： 一是如何从已知的拓扑空间生成新的空间（子空间、积空间、商空间），这些新生空间的拓扑结构，是读者应当注意的重点； 二是空间上的连续映射与空间的紧性，请读者特别注意它们的意义与作用。
第4章是泛函分析基础。近代科学读物中常常见到的度量空间、Banach空间、Hilbert空间等，在本章中不仅给出确切的定义，而且给出它们的重要性质。由于近代数学有高度的抽象性，许多定理与性质的证明都具有清晰的思路与巧妙的方法，这不是我们在近代数学基础中所要强调的。但是对于一些具有代表性的证明，例如度量空间的完备化定理、开映射定理、共鸣定理等，我们仍不惜用较多的篇幅给出，是因为这些证明中包含了丰富的近代数学思想。泛函分析中的算子理论部分，特别是关于算子序列的收敛性，也作了重点介绍。线性泛函部分则详细介绍了共轭空间与共轭算子。
第5章是分布理论，包含了Fourier变换的完整内容及其近代的发展——小波变换。从Lp(Rn)(1≤p≤2)的Fourier变换、Schwartz函数的Fourier变换，到Schwartz分布的Fourier变换，详细介绍了它们的定义、性质与关系。Fourier变换在近代科学技术中的作用毋庸置疑。数学家在20世纪中叶为Fourier分析奠定了新的基础 —— 分布理论。从分布理论的高度重新认识Fourier变换，以近代数学的观点与思维对待科学研究的对象，对每一个科学研究者至关重要。希望本章能起到这个作用。
第6章是流形上的微积分，重点介绍了光滑流形、余切空间、切空间的引入,流形上的微分与积分的定义及运算，并以三维欧氏空间作为辅助模型，给出各种应用举例。在概念方面，本章具有高度的抽象性，仅从定义去理解，有相当大的难度。因此，本章是本书的难点部分。我们按照数学大师陈省身先生引进微分流形的思路编写了本章的内容，力图使读者从实际的三维空间出发去进行一般情形的抽象。期望读者能领会从特殊到一般、从具体到抽象、从有限到无限、从理论到应用的学习方法，从而体会近代应用数学的真谛。
第7章的补充知识，包含了近代应用数学中常用的方法，如变分方法； 常用的定理，如Banach空间中的StoneWeierstrass定理、隐映射定理、逆映射定理、不动点原理； 还有常用的概念，如Haar积分的概念。
本书所选用的知识载体跨度较大，几乎包含了非数学类自然科学领域的研究工作所必备的近代应用数学知识。在数年、数次的教学实践中，我们还着力于教学手段的改革，尽力以形象思维启发抽象思维，以几何直观引导分析概念，并辅以启发性的思考题，形成一个既可独立使用的完整课程教材，又可供某些系科参考的辅助教材。
本书曾由南京大学数学系孙永忠教授、邱华副教授作为教材使用过，他们都提出了有价值的意见与建议。匡亚明基础学院卢德馨教授、许旺教授以及物理系肖明文教授对本书提出了宝贵意见，于本书的使用、修改起了重要作用。清华大学出版社的石磊副编审对本书编写和出版提出了很好的建议，陈明编辑对书稿进行了细致核校，在此一并致谢。
由于作者水平有限，对教学改革的理解还不够深刻，教材改革的思路、取材、编写等方面的不足与错误在所难免，更存在许多不尽如人意之处，敬请专家、同行和读者不吝赐教。
作者2015年1月于南京大学
