这个前言有点长，不知道有没有读者会耐心地读下去。

我本人从事高考数学的辅导工作已经有很多年了，在这些年的工作中，我发现数学是很多同学考取理想大学的一个“绊脚石”。通过我自己亲身教学能够帮助到的同学太少了，很多学生建议我写一本关于高考数学的书来帮助更多同学学好数学。要是写，就一定要写一本良心书，一本真正地能够帮助到更多同学高考的数学辅导书。一次偶然的机会，有了在清华大学出版社出书的机会，于是写了这本书。

自我介绍一下： 我是东南大学硕士，长期从事高考数学的辅导和教学工作。细数起来，我教过的学生有将近1 000人毕业考进了大学，这其中有很多印象深刻的同学。经过我的指导，有的同学数学从60分提高到120分，从100分提高到140分的也不在少数。

我曾经问过一个对数学有厌恶情绪的同学，问他为什么不喜欢数学？他说，公式太多了！其实，数学里死记硬背的公式还真不多！真正难记一点儿的公式可能也就是三角函数公式。说明这位同学没有找到正确的学习方法。数学高手之所以将数学学得得心应手，主要是因为他们掌握了数学的几种重要的思路和方法，比如数形结合、分类讨论、函数思想，然后再通过做适量的题目加深对思想方法的理解，从而渐渐地达到游刃有余的境界。

对有些学不好高中数学的同学，我总结主要有以下几个方面的原因。 

1.  资料太多，没有一本学透

有的同学买了很多的数学辅导资料，东做一下西做一下，结果没有一本资料是学透彻的，这样不但没有利用好资料的价值，反而耽误了很多学习时间。我经常鼓励学生不要买太多的辅导资料，买一两本，然后把它学透，反反复复地去做，不放过任何一个题目、任何一个细节。

2.  眼高手低，看得多、动笔少

有些同学喜欢看辅导书上的例题解答，甚至依赖例题的解析，看了很多的例题，最后数学考试却未能得高分。原因很简单，只有通过自己动笔去演算、分析，才能对数学知识有非常深刻的认识。无论对待什么数学题，正确的做法应该是独立思考，动笔去写过程，做出来，自然很好；做不出来，时间也没有白费，知识在你脑子里过了一遍就是学习。例题固然要多看，看例题的过程就是积累学习方法和解题经验的过程，但一定要边看边想边写，不能像看“小说”一样看数学例题。

3.  搞题海战术，缺乏归纳总结

有的同学做的题确实不少，可是最后也考不了满意的成绩。可能是因为缺乏归纳总结，对做过的题目，要善于归纳解题方法，同类的题目不要做太多，而是应该掌握其中的数学原理及数学思路和方法，学会举一反三。

关于具体的数学学习方法，我将在下面通过具体的实例向读者详细地说明，我坚信读者认真阅读完会有深刻的启发。

一、 从绝对值说起

一提起绝对值，很多读者脑海里可能会浮现诸如fx=2x－1+3x－2这样的函数，这种带绝对值的函数在高考数学的试题中早已屡见不鲜，接下来我们一起来详细分析这类问题。坚信你可以从分析中悟出一些道理。

请读者来看一道典型的高考数学试题，这是一道2014年的高考真题。

【例1】若函数f(x)=x+1+2x+a的最小值为3，则实数a的值为。

这道题很多资料上都有出现，大部分书上的解析是这样写的:

由题意，可以分三大类情况进行讨论。 

(1) 当－a2<-1时，即a>2时,

fx=－3x－a+1,x≤－a2

x+a－1,－a2<x<－1

3x+a+1,x≥－1

则当x=－a2时，fxmin=f－a2=－a2+1+－a+a=3,解得a=8或a=－4(舍)；

(2) 当－a2>-1时，即a<2时，

fx=－3x－a+1,x≤－1

－x+1－a,－1<x<－a2

3x+a+1,x≥－a2

则当x=－a2时，fxmin=f－a2=－a2+1+－a+a=3，解得a=8(舍)或a=－4；

(3) 当－a2=－1时，即a=2时，fx=3x+1，fxmin=0，不符合题意。

综上所述，a=8或a=－4。

细数一下，在第(1)种情况下我们对x的取值分了三种情况进行讨论得出fx的解析式，在第(2)种情况下我们也分了三种情况，这样做耗费的时间还是较多的。为了说清楚这个题目的本质，我们先从几个简单的引例看起。 

【引例1】函数fx=x－1+x－3的最小值是。

当然，我们可以用分类讨论的方法很轻松地做出答案，不妨换个角度思考(见图01)： 

图01

x－1表示数轴上一点x(记为P点)到1(记为A点)的距离，x－3表示数轴上一点x(P点)到3(记为B点)的距离，则fx=x－1+x－3表示的含义就是P点到A点与到B点的距离之和，即fx=PA+PB。

显然，当P点位于线段AB之间的任何一点时(包括端点A和B)，PA+PB取得最小值2，即当1≤x≤3时，fxmin=2。受这种方法的启发，我们接下来看看【引例2】。

【引例2】函数fx=x－1+x－3+x－4的最小值是。

有了【引例1】的启发，我们很容易想到： fx=x－1+x－3+x－4表示的含义是数轴上一点Px,0到A1,0、B3,0、C4,0的距离之和，即fx=PA+PB+PC(见图02)，显然，当P点与B点重合时，PA+PB+PC取得最小值，即当x=3时，fxmin=f3=3。做完这个题，到这里是不是就完成任务了呢？远远不够，我们再看【引例3】。

图02

【引例3】函数fx=x－1+2x－3的最小值是。

与前两个引例相比，【引例3】中x的系数不再是1，那是不是就束手无策了呢?其实不然。实际上，fx=x－1+2x－3=x－1+2x－32

=x－1+x－32+x－32这样fx就被我们写成了【引例2】中类似的形式，但是出现了两个32，我们可以把两个32记作两个点B1、B2，但是心里要清楚B1和B2的坐标是相同的，即B132,0,B232,0,依次写在32的上面，如图03所示。 

图03

fx=PA+PB1+PB2，显然当P与B1重合时，PA+PB1+PB2取得最小值12，即当x=32时，fxmin=f32=12。

看完了这三个引例，我们再回过头来分析一下【例1】，我们很自然地可以把fx写成这样的形式： f(x)=x+1+2x+a=x+1+2x+a2=x+1+x+a2+x+a2

记A－1,0,B1－a2,0,B2－a2,0,Px,0，则fx=PA+PB1+PB2，A、B1、B2在数轴上的排列位置有两种可能(排除A、B1、B2三点重合的情况，因为与题意不符)，如图04所示。

图04

无论是哪种情况下，都可以看出当x=－a2时，fxmin=f－a2=3，即－a2+1=3，解得a=8或a=－4。接下来的【例2】留给读者自己完成。

【例2】求fx的最小值。

(1) fx=3x－5+2x+3；

(2) fx=x－1+x－2+x－3+…+x－19。

［提示： (1) 答案 193； (2) 答案90］

二、 我眼中的线性规划问题

很多读者都知道，现在全国大多数省份的高考试卷采用的是新课标全国卷，熟悉新课标全国卷数学试题的读者更是很清楚，有一道题几乎是每年必考的——线性规划。为什么在这里谈线性规划问题，就是因为很多高中学生埋怨解决线性规划问题时画可行域找最优解的方法太耗时间，于是他们都很不喜欢做这种题目。那有没有更好的解决办法呢？我们还是通过分析具体的例子一起来看一下。我坚信，看完这部分你会爱上“线性规划”。

请读者跟我一起看一道经典的线性规划题目，这是一道2016年的高考真题。 

【例3】若x,y满足约束条件x－y+1≤0

x－2y≤0

x+2y－2≤0，则z=x+y的最大值是。

其实，这种题目我们可以分4步走。

第一步，列表求交点。

把约束条件中的不等号全部写成等号，得到三个等式： 

x－y=－1①x－2y=0②x+2y=2③

两两联立求交点(表01中最后一列暂时不填)。表01

两两联立xy交点x,yz=x+y①②-2-1A－2,－1①③01B0,1②③112C1,12第二步，在平面直角坐标系中画出交点的位置，两两连成直线(见图05)。

图05

第三步，根据不等号确定可行域的范围(见图06)。

图06

第四步，目标函数的最值一定在可行域的顶点处取得，将可行域的顶点坐标值代入目标函数z=x+y，写进表中的最后一列，最后一列的最大值就是目标函数的最大值。(注： C点不能代入，因为C点不在可行域的范围内)

从表02中可以得出z=x+y的最大值1。表02

两两联立xy交点x,yz=x+y①②-2-1A－2,－1-3①③01B0,11②③112C1,12这种方法是有适用条件的，必须跟读者说明： (1)可行域的边界必须是直线，即约束条件中的不等式都是关于x,y的一次不等式； (2)目标函数是x,y的线性组合，即z=Ax+By+C。如果对这个题目的约束条件稍加改动，变成下面这个题目:

若x,y满足约束条件x－y+1≥0

x－2y≤0

x+2y－2≤0，则z=x+y的最大值是。

那么可行域就会发生变化了，对应的可行域变成图07所示。 

图07

这时候交点C也成了可行域的一个顶点，在表03的最后一列，需要对C点进行计算，因此最大值就是32。表03

两两联立xy交点x,yz=x+y①②-2-1A－2,－1-3①③01B0,11②③112C1,1232做完这个题，是不是就完全掌握了呢？远远不够，我们再看【例4】。

【例4】已知平行四边形ABCD的三个顶点为A－1，2，B3，4，C4，－2，点x,y在平行四边形ABCD的内部，则z=2x－5y的取值范围是。

这个题目似乎变得更加复杂了，因为约束条件没有给出不等式的形式，但其实不然。首先，根据题意，可行域是平行四边形围成的区域，所以满足我们上述方法的前提条件(1)——可行域的边界都是直线；其次，目标函数z=2x－5y是x,y的线性组合，满足前提条件(2)。

下面给出一个重要结论： 

如果可行域是封闭的多边形区域，那么目标函数z=Ax+By+C的最大值和最小值一定在多边形的边界或顶点处取得。

有了这个结论，我们先求出D点坐标，设Dx0,y0，由于AB=DC,即4,2=4－x0,－2－y0，解得x0=0,y0=－4，所以D0,－4,接下来将各个顶点坐标代入目标函数的表04式中。表04

顶点xyz=2x-5yA-12-12B34-14C4-218D0-420所以zmax→20,zmin→－14，由于x,y在平行四边形的内部，所以取不到等号，于是－14<z<20。

下面的【例5】留给同学们自己完成。

【例5】已知正三角形ABC的顶点A1，1，B1，3，顶点C在第一象限，若点x,y在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是。

(提示： 答案1-3<z<2)

三、 华罗庚先生的一句名言

我非常喜欢华罗庚先生的一句名言： 数无形时少直觉，形少数时难入微。这句话说的其实就是数学中一种非常重要的思想——数形结合。在此跟读者讲两个高考数学热点问题。 

1. 分式函数图像

在高考数学试题里，我们可以经常碰到一类形如fx=ax+bcx+d的函数，如fx=3x+1x+2，fx=3x+25x－7。然而，很多同学对这种函数很不熟悉，不知道用什么方法处理得当。其实，要是想把一个函数研究得透彻，我们应该想办法画出它的图象。函数图象画出来了，再复杂的函数问题也可以迎刃而解了。下面我通过两个具体的实例来说明这类函数问题应该怎么处理。

【例6】已知fx=3x+25x－7，其中x∈0,2且x≠75，则fx的值域是。

第一步，拆分。

对分式3x+25x－7进行拆分，3x+25x－7=α15x－7+α25x－7=α1+α25x－7，其中α1，α2是待定的常数，怎么确定α1，α2呢？只要比较一下就可以得出，由于3x+2=α15x－7+α2，比较等式左右两边的系数和常数项，很容易得出α1=35，α2=315，所以fx=35+3155x－7

第二步，定点。

令分母5x－7=0x=75，把75作为横坐标，分离出来的常数α1=35作为纵坐标，确定一个定点P75，35。

第三步，画虚线。过定点P75，35画两条虚线，一条平行于x轴，一条平行于y轴，把平面分成四个区域，如图08所示。 

图08

第四步，画双曲线。

根据α2的正负，画双曲线。若α2＞0，则双曲线画在①③部分；若α2＜0，则双曲线画在②④部分。本题α2=315，所以画在①③部分，如图09所示，取出图象在区间0,2的部分，可以得到

图09

fx的值域是－∞，－27∪83,+∞。

【例7】已知fx=3sinx+1sinx+2，则fx的最大值是。

令t=sinx，则f(x)=g(t)=3t+1t+2=3t+2－5t+2=3－5t+2,－1≤t≤1，用分式函数图象速画法画出y=g(t)图象,如图010所示，其中A－2，3，B－1,－2,C1，43,从图中可以看出，当t=1时，fx取得最大值43。

图010

2. 函数图象的对称性

纵观历年高考数学真题，我们可以发现有一类试题频繁出现。这类问题的特点是求方程的根之和，常见的提问是x1+x2=，或者是x1+x2+x3+x4=，或者是x1+x2+x3+x4+x5+x6=，甚至是x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=。这类问题难度较大，往往作为选择题的最后一道或者填空的最后一道出现，如果不用适当的方法去处理，可能会耗费大量的时间，最后也做不出答案。这类问题之所以难，是因为我们几乎求不出每一个加数的值，却可以求出它们的和。仔细观察，我们可以发现，加数的个数都是偶数个，因此可以配对，利用对称性，求出每两个加数的和，最后相加，问题往往可以迎刃而解。接下来，我通过近几年高考的3道真题来说明这类问题的解决方法。

【例8】已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4=－fx，且在区间0,2上是增函数，若方程fx=mm＞0在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则x1+x2+x3+x4=。

fx－4=－fxfx=fx+8，即fx是以8为周期的周期函数，再结合题目给的其他信息，很容易构造一个满足条件的函数fx，其图象如图011所示。

图011

由图象的对称性，得： x1+x2=－12,x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=－8。

【例9】函数y=11－x的图象与函数y=2sinπx－2≤x≤4的所有交点的横坐标之和为。

在同一直角坐标系下画出函数y=11－x与函数y=2sinπx－2≤x≤4的图象，由于点1,0是两个图象公共的对称中心(见图012)，左右两侧的四个交点也一定关于点1,0对称，所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=4×2=8。

图012

【思考题】例9是2011年全国新课标卷理科数学的真题，若条件改变一下呢？请看这个问题。

函数y=1x－1的图象与函数y=2sinπx－2≤x≤4的所有交点的横坐标之和为。

(提示： 答案4)

【例10】已知x1是方程2x+2x=5的实数根，x2是方程2x+2log2x－1=5的实数根，则x1+x2=。

由2x+2x=52x=－2x+52x－1=－x+52

2log2(x－1)+2x=52log2x－1=－2x+5log2x－1=－x+52

所以x1是函数y=2x－1的图象与直线y=－x+52的交点A的横坐标；x2是函数y=log2x－1的图象与直线y=－x+52的交点B的横坐标。

由于y=2x的图象与y=log2x的图象关于直线y=x对称，所以y=2x－1的图象与y=log2x－1的图象关于直线y=x－1对称，如图013所示,P点为直线y=x－1和直线y=－x+52的交点，联立y=x－1

y=－x+52解得： x=74。由于A,B两点关于P点对称，所以x1+x2=2×74=72。

图013

四、 关于本书

通过以上的分析，我们至少可以获得以下两个重要启发。

(1) 数学题往往是有规律可循的，抓住这种规律，你就找到了学习数学的方向。

(2) 数学题有“基础性”的解法(比如上文所述的对绝对值进行分类讨论、平移目标函数找最值的方法)；也有“技术性”的解法(比如上文所述的解决绝对值函数和求解线性规划问题的方法)。在把握“基础性”解法的条件下，掌握“技术性”解法，才能稳操胜券，技压群雄。

这本书上的题目是在我多年以来辅导高中生数学遇到的一些典型的题目和学生经常问到我的一些题目的基础上修改、扩充、完善而来，尤其要感谢江苏天一中学的雨瑶同学、上海师范大学附属中学的马宇洁同学及开封高中理科实验班的淼淼同学，他们给我提供了很多数学题目的素材，让我有机会将这些高品质的题目分享给大家。

本书一共八章，每一章包含四个主要部分。

第一部分： 知识和解题方法要点。这一部分主要是对基础知识的回顾和拓展补充，帮助读者在阅读例题之前做好知识储备。

第二部分： 例题分析。这一部分的例题大多取材于高考真题和学生经常问到的题目，其中也按题型进行了分类，帮助读者更好地对考试题型进行归纳与总结。

第三部分： 习题。这部分题目丰富，一部分是非常典型的高考试题及模拟试题，一部分是我自己的原创试题，以帮助读者巩固这一章所学知识。

第四部分： 习题答案详解。习题的参考答案非常详细，方便读者检验学习成果。

如何使用好这本书并做好数学的学习和复习呢？我提三个建议:

1.  独立思考，定期检验

复习一个知识点，先要读懂基本的概念、定理和公式，然后看例题，再去做习题。只有通过做题，才能知道自己是否真正地掌握了这类知识。一定不要翻着答案做题，一边翻着答案一遍做题，稍有不会就看答案，这样效果不好。读者先不要看答案，自己独立去做，运用自己所有的储备知识，看能不能做出来，做出来，自然很好，做不出来，时间也没有白费，知识在你大脑里过了一遍就是学习。

2.  吸取教训，善于总结

人没有不犯错误的，尤其在学习数学的过程中，做错题，不会做题，是再平常不过的事情。人们常说： “失败是成功之母。”就是这个道理。希望在高考复习的过程中，建议读者准备一个笔记本，通过不会做的或者做错的题目分析自己的问题到底出在哪里，哪些知识点还复习不到位，吸取教训，多做总结，这样对提高数学水平是极有帮助的。

3.  反反复复，多做真题

历年的真题可以反映高考数学试题的基本特点和规律，在学习和掌握了本书上讲到的一些重要的解题方法以后，要及时去做高考真题巩固并强化，检验自己的学习效果，比如对于新课标卷地区的考生，建议把2007-2017新课标卷数学考过的所有题目一个不漏地研究透彻，相信你的数学成绩一定会变得很不错！

书中如有不妥，希望各位读者批评指正。

黄玉

2018年2月于东南大学