前言

游戏是人类经验的普遍组成部分，它几乎出现在每一种文化中。已知的最早的游戏(例如埃及的塞尼特棋（Senet），或者伊拉克的乌尔皇家游戏（Royal Game of Ur）)至少可以追溯到公元前2600年。游戏由一系列控制玩家行为的规则和玩家所面临的挑战刻画，涉及金钱或非金钱形式的赌注。事实上，游戏的历史和赌博的历史是难以分割的。它们在当代社会的发展中发挥着十分重要的作用。

游戏在当代数学方法的发展中也扮演着很重要的角色。它们提供自然框架来介绍在现实问题中有着非常广泛应用的简单概念。从用于分析的数学工具的角度，游戏大体上可以被分为随机游戏(random games)和策略游戏(strategic games)。随机游戏让玩家和“自然”这个非智能且行为无法被准确预测的对手竞争。轮盘赌(roulette)就是随机游戏的一个非常典型的例子。另一方面，策略游戏则是让两个或更多的具有智能的玩家互相对抗； 挑战之处在于单个玩家需要以智取胜，击败他们的对手。根据玩家采取行动的顺序，策略游戏可以进一步分为同时性(simultaneous)游戏(例如石头剪刀布)和顺序性(sequential)游戏(例如国际象棋、井字棋)。然而，这些类别的游戏并非是互斥的； 大多数当代的游戏同时涉及随机游戏和策略游戏的一些方面。举个例子，扑克牌就吸收了随机游戏的元素(牌的发放是随机的)以及策略游戏的特点(下注是轮流的，并且“虚张声势”，甚至可以让你以一手比对手更烂的牌获得胜利)。

游戏的数学分析背后的一个重要概念就是“理性假设”(rationality assumption)，即假设玩家确实想赢得游戏并且会采取“最优”(或“理性的”)的步骤来实现这一想法。基于这些前置条件，我们可以假设一个关于如何进行决策的理论，这需要依赖于效用函数(utility function)的最大化(通常但并非总是和玩游戏所能获得的金钱总量相关)。玩家尝试根据任何时间所能获得的信息来最大化他们自己的效用。在随机游戏中，这涉及在不确定性下进行决策，也就十分自然地通向了概率的研究。事实上，正式的概率研究诞生于17世纪，源自于一个顽固不化的赌徒(Antoine Gambaud，也称为Chevalier de Méré)提出的一系列问题。由于在某些骰子游戏中不正确地评估了自己的获胜概率，De Méré遭受了重大的经济损失。与那个时代寻常赌徒不同的是，在帕斯卡(Blaise Pascal)的帮助下de Méré找到了错误的原因，这反过来促使了帕斯卡和费马(Pierre de Fermat)的沟通从而引起了概率理论的发展。

决策理论(decision theory)在策略游戏中同样发挥着非常重要的作用。在此场景下，“最优”意味着评估其他玩家可能的选择然后找到对应的“最佳响应”。这通常被理解为损失最小化，但是这两个概念不一定完全一样。事实上，一个来自博弈论(game theory，研究策略游戏的数学领域)的重要认知显示零和博弈(zerosum games，即博弈各方收益和损失相加之和为零)和非零和博弈的最优策略可能非常不同。值得一提的是，即使是在纯粹的策略游戏中，随机性也发挥着某些作用。一个非常棒的例子就是“石头剪刀布”。理论上，这个游戏的规则中并没有内在的随机性。然而，对于任意玩家而言，最优策略就是随机均匀地从三种可能的行动中选择他(或她)的行动。正是这三种选择造就了这个游戏的名称。

游戏和赌博分析背后的数学概念在所有的科学领域都有着实际的应用。以游戏“黑杰克”(blackjack，即二十一点)为例，你需要顺序地决定是否拿牌(即获得额外的一张牌)，停牌(不再接收牌)，或者在合适的时候，加倍下注、分牌或投降。最佳的玩法意味着决策时不只需要考虑自己手中的牌，同样需要考虑庄家和其他玩家展示出来的牌。在医疗场景下，相似的问题发生在诊断和治疗中。医生拥有一系列的诊断测试以及治疗选项，病人后续的治疗决策需要根据当前病人和其他病人以前的测试和治疗结果，顺序地做出。扑克牌提供了另一个有趣的例子。任何经验丰富的玩家都可以证实，虚张声势是这个游戏最为重要的组成部分之一。扑克牌中虚张声势的“最优技巧”，同样可以用于设计一个允许拍卖商攫取竞拍者最高出价的拍卖。这些策略被谷歌（Google）和雅虎（Yahoo）之类的公司用于分配广告位。

本书的目标是使用游戏介绍概率、统计、决策论和博弈论的基本概念。本教材适用于学习过线性代数或者线性代数先修课程的本科生的通识教育课程。根据我们的经验，学习过线性代数的、有积极性的高中生同样可以使用本教材。

本书共13章，大约一半的章节使用多种多样的游戏集中阐述基本概念，剩余的一半则专注于众所周知的赌场游戏(casino games)。更具体地说，前两章主要简单讨论在有限离散空间中的效用和概率理论。然后，我们将移步讨论5个非常流行的赌场游戏： 轮盘赌(roulette)、乐透(lotto)、花旗骰(craps)、二十一点(blackjack)和扑克牌(poker)。轮盘赌不论是玩还是分析都是最简单的赌场游戏之一，它被用来说明概率的基本概念，如期望值。乐透被用来诱导计数规则以及排列和组合数的概念，这些概念允许我们在大的等概率空间(equiprobable spaces)中计算概率。花旗骰和二十一点则用于阐述和推导条件概率。最后，对扑克牌的讨论有助于说明前几章中有多少观点是合二为一的。最后4章专注于博弈论和策略游戏。因为这本书是为了支持通识教育课程，所以我们将注意力集中在同时且顺序的完备信息(perfect information)游戏中，并避免不完备信息的游戏。

本书使用计算机模拟来阐述复杂的概念并且让学生们相信书中的计算是正确的。计算机模拟已经成为许多科学研究领域的关键工具。我们相信，让学生们体验计算能力获取的简单化，在过去的25年里如何改变科学是非常重要的。在这本书的编写过程中，我们使用电子表格进行过实验，但发现它们没有提供足够的灵活性。最终，我们决定使用R(https://www.rproject.org)。R是一个允许用户轻松实现简单模拟的交互式环境（即使用户只有有限的编程经验）。为了便于使用，我们在附录A中给出R的概述和介绍，并且在介绍与示例相关的语言特性时在每一章增加了侧边栏内容。连同一些其他的内容介绍，本书可以作为概率/统计和编程课程的入门读物。读者也可以在阅读本书时忽略其中的R指令，只关注指令产生的图和其他输出内容。

我们为本书的内容配上了历史频道Breaking Vegas系列电影的截屏。我们发现电影Beat the Wheel, Roulette Attack, Dice Dominator和Professor Blackjack (每一部大约45分钟)，非常适合本书。这些电影有助于解释游戏规则和提供基本概念（如大数定律）的趣味性阐述。

阿贝尔·罗德里格斯，布鲁诺·门德斯

2017年11月于圣克鲁斯, 加利福尼亚州