前言

高等数学研究的对象是函数，其定义域与值域大多都在实数集R中，例如函数

f： R→R,

定义为

f（t）=t2,t∈［0,1］,

我们研究了这类函数的极限、连续、可导、可积等性质。

泛函分析研究的主要对象是定义域与值域都在无限维空间中的算子（也叫映射），例如算子

T： C（［a,b］）→C1（［a,b］）,

定义为

（Tx）（t）=∫tax（s）ds，x（s）∈C（［a,b］）,

这里的C（［a,b］）表示在区间［a,b］上连续的所有函数所构成的空间，C1（［a,b］）表示在区间［a,b］上连续且一阶导数也连续的所有函数所构成的空间。此时算子T的定义域不再是“数集”，而是“函数集”C（［a,b］），其值域也有同样的特点。特别地，当算子的值是实数时，称算子为泛函，“泛函”这两个字可以理解为“更广泛的函数”。

为此，本书的主要内容包含两个方面： 一是研究各种不同空间的定义与性质，二是研究定义在这些空间上的算子的性质与应用。

“空间理论”： 本书的第1章虽然是预备知识，但本质是研究实数空间及其相应函数的性质，其内容主要来源于高等数学与线性代数课程。虽然读者都接触过这些知识点，但是希望大家不要轻易跳过这部分内容，原因之一在于里面的一些知识点比如极限的εδ定义是我们本书证明的主要工具，希望大家熟练掌握，另一个重要的原因是后面许多新的概念是实数空间中相应知识点的推广，把实数空间中的内容理解好之后，再学习新的内容就会事半功倍。另外，第1章中还简单列举了部分实变函数的内容，比如勒贝格积分及相应的可积函数空间等，这部分内容是高等数学中函数积分的推广。

前言

前言 

“推广”是泛函分析的一大特点： 在第2章中，我们把实数集中两个元素的距离概念推广到一般的距离空间，并用来研究不动点理论，此理论在各类方程解的存在性与唯一性定理中起到了最关键的作用； 第3章是把实数空间中的长度概念推广到赋范线性空间，在这一章中，我们不但研究一般空间中元素的长度（我们改称为范数），还会重点研究算子的范数，即把算子也看成是某些空间中的元素； 第4章研究特殊的线性空间——内积空间，在此空间中，我们把实数之间的数量积进行了推广，从而使得赋范线性空间中的元素之间有了夹角，并重点研究了正交（垂直）这一个最直观的性质以及这些内容在最佳逼近论中的应用； 第6章的核心内容是如何定义并理解索伯列夫空间中元素的导数，为此，本章首先定义了广义导数，同时从积分的角度又研究了弱导数及其与高等数学中函数的导数的区别与联系，并指出广义导数与弱导数的定义是等价的。在应用中，我们利用弱导数得到了线性椭圆方程弱解的存在性与唯一性，从而把我们定义的新空间与新方法投入到了方程解的存在性这一个广阔的领域中。我们用下面的图表把泛函分析中与实数空间中有关联的知识点进行简单的对比： 

新 的 空 间

实数空间中知识点名称

新的知识点名称

应 用 举 例

距离空间

距离

距离（度量）

不动点理论

赋范空间

长度

范数（模）

泛函延拓等基本理论

内积空间

数量积

内积

最佳逼近论

索伯列夫空间

导数

广义导数（弱导数）

椭圆方程的弱解

“算子理论”： 类似于高等数学研究的是定义在实数集上的函数，泛函分析的另一个研究重点是定义在上述空间中的线性算子的性质与应用。本书研究的算子主要包括： 线性算子、连续算子、有界算子、无界算子、紧算子、投影算子、共轭算子等。作为算子理论的应用，我们研究了压缩映射定理、最佳逼近的问题、泛函延拓定理、共鸣定理、逆算子定理（后面这三个定理是第5章的研究内容）以及线性椭圆方程弱解的存在性等。当然，泛函分析的应用远不止如此，其他重要的理论比如傅里叶变换、算子的谱理论、变分理论等，因为篇幅有限或者内容过于复杂等原因本书并没有涉及。另外，需要指出的是，本书中的大部分内容虽然在复数集中都成立，但为了内容的简练与学习的方便，本书所有的知识点都是在实数集中进行讨论。

本书的一个特点是起点低。我们知道学习泛函分析的读者，既有经过专业训练的数学系高年级的学生，也有只接触过高等数学、线性代数等基本数学课程的工科类专业的学生，尤其是后者或许都没有学过泛函分析的基础课： 实变函数。为此，本书的假设读者为只是了解高等数学与线性代数的相关知识的非数学类的学生。本书定义与定理的陈述尽量地使用简单易懂的语言，并尽量与之前的知识点进行比较，以消除读者对新的知识点的突兀感，让读者更容易理解新的概念。举个例子，在第1章中，我们省略了区间套定理、有限覆盖定理、集合论、测度论等“隐晦难懂”的内容，只是用“有理数可数，其长度为零”这一个容易理解的知识点来学习“性质不好”的集合与“性质不好”的函数，并用狄利克雷函数来理解高等数学中的积分与我们新的勒贝格积分的异同。因此，本书的部分内容显得不是很严谨，好在我们给出了大量的参考文献，部分内容还给出了在参考文献中的具体页数，以便有兴趣的读者进行查阅。

本书的另一个特点是用大量的例子（包括反例）去理解新定义的空间与算子，这些例子几乎都给出了详细的证明与求解； 每一章的后面还附有一定量的练习题，并在书末给出了详细解答，以便读者检验自己的学习水平与深度。另外，因为本书的目的之一是作为工科类高年级学生或者研究生的教材，所以书中列举了一些应用方面的例子，比如信号处理中的线性系统、分布参数控制系统中的人口演化问题、分布空间、信号的相似性、力学中的对偶性和能量等，这些例子将帮助读者能够把泛函分析的知识与自己的专业尽快地结合起来。

“实变函数学十遍，泛函分析心犯寒”，类似的顺口溜说明相关知识点确实有一定的难度，但我们坚信只要读者找对方法并坚持不懈，一定会从本书中得到很大的收获。

笔者水平有限，疏漏错误难免，敬请读者和专家们批评指正。

编著者2019年5月