我历来主张教材与课堂都不能杜撰历史，如果不清楚历史，宁可不说，单刀直入介绍概念或定理即可。以复数概念教学为例，教材以x2+1=0在实数范围内无解所以需要扩充数域作为虚数概念的切入点，这里存在几个疑问： (1)历史并非如此，复数的出现与三次方程的求根公式有关，而正式登堂入室则是在找到了它的几何与物理背景之后；(2)如果学生问：“为什么要让这个方程有解？为了解决什么问题？”教师将如何回答？(3)在复数的四则运算中，加减法不难理解，与向量的线性运算是相容的，但如果学生问：“为什么那样定义复数的乘除法？为什么不可以像复数的加减法那样将复数的实部与虚部分别相乘或相除？”事实上，哈达马（Hadamard）乘积就是这样定义的，为什么复数的乘法就不可以这样定义呢？教师怕是回答不了这样的问题。要解释清楚这个问题自然离不开复数运算的几何背景。

高中复数部分占用的教学时间很少，只有几课时，很难面面俱到地把所有相关问题解释清楚。例如，教师不可能在课堂上把一元三次方程的求根公式推导一遍，那样既偏离了主题也耗费了不必要的时间。所以要在“历史”与“再创造”之间寻找一种平衡，换言之，需要将复数的“学术形态”转变成“教育形态”。

三角函数是最重要的初等函数，也是高考考查的重点内容之一。有的教材关于三角函数的编写有值得斟酌与完善之处，例如任意角、弧度制及任意角三角函数的引入分别设计了三个不相干的问题情境，用手表的校准引入任意角，以“为了使用上的方便，数学上还采用另一种度量角的单位制——弧度制”引入弧度制，再以锐角三角函数的坐标表示为出发点引入任意角三角函数，这些情境的设计颇有些令人费解。机械表的确存在校准时间的问题，但谁也不会关心分针或秒针旋转了多少角度，因为关心这个问题毫无意义。为什么要引入弧度制？它能带来什么方便？教材语焉不详，需要到任意角的三角函数部分才看到弧度制的使用，但如果教师不讲清楚，估计学生仍然无法搞清楚这个问题。任意角三角函数的问题情境也值得推敲，它没有回答一个基本问题：为什么要定义任意角的三角函数？教材只是根据锐角三角函数的坐标表示类推到任意角的三角函数，虽然后面简要介绍了一点历史，但学生无法从那段历史介绍中找到上述问题的答案！因为它太缺少细节，没有说清楚引入任意角三角函数的必要性，也没有阐明为什么要像教材那样建立任意角的三角函数，学生无法透过教材看到数学思想的火花。

我们对三角函数内容做了一个大胆的重构，以汽车仪表板的工作原理作为问题情境贯穿任意角、弧度制与任意角三角函数教学的始终，将天体的运行简化成一个质点(汽车轮子的中心)作直线运动，另一个质点(车轮圆周上的固定点)绕着该质点作旋转运动，如何确定任意时刻质点所处的位置？这个问题的解决自然带出了任意角的正弦函数与余弦函数，质点的轨迹是数学上著名的摆线。

解三角形部分我们补充了几乎所有常用的三角公式，因为这些公式本来就属于中学传统的内容，大学课程中又很常用，中学教师可以视情况决定是否将其纳入课堂教学。

虽然本卷的构思与现行教材的构思有较大的差异性，但内容与体系是一致的。作为教师，也许觉得按照教材组织教学省事又省力，但至少自身要知其所以然，否则，改革恐怕永远是纸上谈兵，达不到预期的效果，希望本卷能为有兴趣的师生提供一点帮助。

曹广福

2019年4月