前言

随着科学技术的迅速发展，常常需要考虑事物的多变量影响因素，因而古典的高等数学和线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法就成为现代科技领域必不可少的工具. 诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用. 可以毫不夸张地说，矩阵理论的发展极大地推动和丰富了其他众多学科的发展. 工程中许多新的理论、方法和技术的诞生与发展就是矩阵理论的创造性应用与推广的结果. 当今电子计算机及计算技术的迅速发展更为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景. 因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的. 从20世纪80年代，全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课. 为此，1989年我们根据国家教委制定的工科研究生学习“矩阵论”课程的基本要求编写了教材讲义，并于1993年和2004年分别由河海大学出版社和清华大学出版社先后正式出版，在部分高校讲授过多年. 为使本书适应时代发展的要求，这次改版又对本书进行了充实更新，并对内容作了精心的处理. 

本书内容分上、下两篇，上篇为基础篇，下篇为应用篇，共8章，比较全面、系统地介绍了矩阵的基本理论、方法及其应用. 我们认为，矩阵论源于古典的高等数学，它是线性代数与高等数学知识的推广和深化. 众所周知，初等数学运算的对象是常量，高等数学运算的对象是变量，如果将运算对象换成多维向量（矩阵），并定义相应运算规则后，这就构成了“矩阵论”. 所以，有人把矩阵论又说成是一门“多维高等数学”或是“升级版的高等数学”. 对于工科研究生来说，深刻理解和熟练掌握这门课对后面内容的学习乃至将来正确处理实际问题有很大的作用. 现以本书5.4节“矩阵微分方程”为例，在研究弹道控制系统时，考察多个变量x1(t),x2(t),…,xn(t)所满足的常微分方程组（5.4.1）,如果采用古典高等数学传统的解法，其过程相当复杂，解的表达式非常冗长. 直到20世纪80年代，有了矩阵工具以后，可以将式(5.4.1)改写成如式(5.4.2)的矩阵微分方程：dx(t)〖〗dt=Ax(t),其解表达为x(t)=eAtx(0),这里A为n阶方阵. 如此“简而不凡”的表达式，才真正体现了“数学之美”. 

本书的第1章介绍矩阵的几何理论. 矩阵理论源于古典的高等数学，例如，“线性空间”是平面上二维向量空间的推广；“线性算子”是函数概念的推广；“等积变换”是正交坐标系概念的推广等. 建立这种“以高等数学概念为背景、并用公理化来定义多维空间相应的抽象概念”的理论，我们称之为“矩阵的几何理论”. 这部分内容既是古典的线性代数和高等数学知识的推广和深化，又是矩阵论的基础. 第2章~第4章主要介绍λ矩阵与若尔当标准形、矩阵的分解、赋范线性空间与矩阵范数. 这些内容是矩阵理论研究、矩阵计算及应用中不可缺少的工具和手段. 以上4章内容均为1991年国家教育委员会工科研究生数学课程教学指导小组对“矩阵论”课程所制定的基本要求，故本书把它们放入上篇作为基础篇，约为2~3学分（讲授36~54学时）. 考虑到矩阵理论的完整性、系统性，又能反映其应用性，同时也为满足某些专业多学时教学的需要，本书的下篇为应用篇，安排有： 第5章介绍矩阵微积分及其应用；第6章介绍广义逆矩阵及其应用； 第7章介绍几类特殊矩阵与特殊积（诸如非负矩阵与正矩阵、素矩阵与循环矩阵、随机矩阵和双随机矩阵、单调矩阵、M矩阵与H矩阵、T矩阵与汉克尔矩阵，矩阵的克罗内克积、阿达马积与反积等）；第8章专门介绍了矩阵在其他方面的一些应用. 本书前7章每章均配有一定数量的习题，附录中还给出了15套模拟自测试题. 所有习题和自测题（包括约1200道小题）的详细解答，将由清华大学出版社出版.

目录中带*号的内容可用于选学或自学. 

本书在编写过程中，力求做到：

1. 理论严谨，重点突出，既重视几何理论，又兼顾应用背景或具体应用；

2. 结构合理，既有系统性，适合全面阅读（多学时），又具有可分性，便于选读（少学时）；

3. 取材丰富，涵盖多种矩阵理论与运算法则；

4. 深入浅出，文字流畅. 

阅读本书只需具备高等数学和线性代数的基本知识. 

作者诚挚地感谢王能超教授，他仔细审阅了全部书稿，并提出了不少有益的建议. 

本书可作为理工科大学各专业研究生的学位课程教材，也可作为理工科和师范类院校高年级本科生的选修课教材，并可供有关专业的教师和工程技术人员参考. 

由于编著者水平有限，书中如有不妥乃至谬误之处，期望读者批评指正. 

编著者[]2020年12月