前言

在概率论与数理统计的领域中，直觉、推理与仿真，三者常常构成一种矛盾而又统一的奇妙关系。就好比在统计中，我们常用“均值”与“中位数”这两个统计量来描绘身高水平。通过问卷调查发现，许多人凭借直觉认定中位数的计算更为快捷，毕竟中位数的求解无需进行复杂的实数运算，只要掌握排序和计数的方法就行。然而，从推理的角度来看，均值的计算其实更为高效。这是因为均值的计算复杂度为O(n)，而若用冒泡排序法来求中位数，其计算复杂度却高达O(n2)。推理得出的结论固然可靠，可推理过程有时却过于抽象，让人难以直观把握。在这种情况下，仿真就成为了验证推理与直觉结论的得力助手。仿真结果清晰地显示：均值的计算速度要远远快于中位数。尤其当n达到1010之巨时，中位数那庞大的运算量甚至会使普通个人计算机陷入死机状态。这个案例充分说明，直觉带来的结论并非总是可靠，我们需要借助推理来弥补直觉的缺陷，同时利用仿真验证来化解推理的抽象性。

直觉与推理之所以会出现不一致，根源或许在于我们长期习惯了“确定性”与“线性”的思维模式，而真实的客观世界却充满了“不确定性”与“非线性”，这也正是概率统计这门学科独特的魅力所在。在概率论与数理统计的学习、讲授以及讲课比赛筹备过程中，我们不断发现，在生活、生产和各类试验场景里，存在着大量直觉与推理相互矛盾的疑惑、案例和反例。这些意外的不一致性，给我们带来了诸多惊喜。带着这份惊喜，我们按照教科书的结构框架，以“直觉—推理—仿真”的逻辑思路，精心梳理并组织了这些有趣的内容，这便是本书诞生的初衷。

本书有意避开抽象晦涩的证明方式，而是采用答疑解惑、趣味游戏、生动故事、典型研究案例、奇妙悖论反例以及直观仿真曲线等丰富多样的形式，来阐释概率与统计的相关理论。这个阐释过程或许比传统的符号证明更加耗费时间和精力，却也更需要我们发挥发散性与创造性思维。我们衷心希望，通过我们的努力，能让读者在阅读时感到轻松愉悦，进而理解并领略概率统计的独特魅力与趣味。本书尤其适合以下三类读者：

第一，概率统计学习者。当你在面对抽象理论感到疲惫不堪，对某个专业术语困惑不解，甚至在心底渐渐滋生“读书无用论”的念头时，不妨翻开这本书。在这里，你可能会惊喜地发现，验证过程远比枯燥的证明更有趣味，生动的案例故事有时也比抽象的符号推理更加引人入胜。学习就像一场充满挑战的艰苦旅行，我们往往太过急切地渴望抵达终点，却忘记了沿途还有许多美好的故事与风景，甚至忽略了那些沿途的景色或许远比终点更加美丽动人。

第二，概率统计教育工作者。相较于学生，老师们最大的自由在于无需承受考试的压力与恐惧，能够拥有更多时间去慢慢思考。但与此同时，工作和生活的新压力也接踵而至，让大家未必有闲暇去重拾曾经被遗漏的那些教学故事与知识风景。当您在整理相关案例、反例、仿真应用场景时，不妨随手翻翻这本书，说不定它能为您理解相关问题提供一个全新的视角。

第三，讲课比赛筹备科研工作者。本书中的众多科研案例都是不可多得的讲课比赛素材，其中一些大型案例更是源自全国教学能力比赛、湖南省研究生优秀案例、军队院校数学中青年教员教学比赛、国防科技大学教学能手比赛等优秀赛事作品。这些案例从最初起草到最终定稿，历经漫长时间，经过多次修改完善，实属来之不易。

我们推荐读者结合国防科技大学吴翊等主编的《概率论与数理统计》进行阅读，因为本书的章节编排与上述教材恰好相互对应。为了方便读者能够顺利复现书中的试验结果，我们尽可能提供了详尽的MATLAB 2023a仿真代码。由于作者自身理论水平与研究经验有限，书中难免存在不足之处与疏漏错误，恳请广大读者不吝批评指正。

本书由何章鸣负责起草与统稿工作，唐扬斌为本书提供了大量素材，并提出诸多宝贵修改建议，还一同攻克了许多颇具难度的思考题，为本书的顺利完成贡献了重要力量。在此，我们衷心感谢杨文强、胡庆军、周海银、王炯琦、侯臣平、段晓君、刘吉英、谢华英、晏良等老师参与的有益讨论；感谢国防科技大学概率论与数理统计课程组的王泽龙、赵振宇、陶红、周萱影、余奇、黄彭奇子、邓娟、刘琰、肖意可、赵城利、海昕、文军、刘春林、徐佳等老师，以及课程组外的戴新宇、罗永等老师，部分精彩案例得益于与大家的热烈讨论和深度交流。

同时，我们诚挚感谢国防科技大学概率论与数理统计课程建设经费，以及“支撑一流工科的统计类数学公共课教学实践研究——以《概率论与数理统计》为例（项目编号：U2023201）”项目的资助。特别要感谢清华大学出版社陈凯仁编辑在本书出版全过程中给予作者的支持。

作者

2024年10月于长沙