前言

1982年，清华大学自动化系

在专业教学过程中开始使用《过程辨识》

讲义（油印本，分上下册）。在六年多的教学实践过程中，

教学组对该讲义反复打磨并修订，后在方崇智教授的主持下编成《过程辨识》教材，纳入清华大学信息学院规划的“信息、控制与系统”教材丛书，1988年由清华大学出版社正式出版。《过程辨识》出版后，

被国内多所重点高校选作教材，影响甚广。20世纪90年代初，台湾格致图书公司购买了《过程辨识》繁体中文版的版权，并在台湾地区出版发行，进一步扩大了本书的影响。

2014年，作者基于数十年的教学经验和科研积累，将《过程辨识》进一步修订为《系统辨识理论及应用》，列入教育部高等学校自动化类专业教学指导委员会牵头规划的“高等学校自动化类专业系列教材”，由清华大学出版社出版。该教材入选“普通高等教育‘十一五’国家级规划教材”。相对于《过程辨识》，《系统辨识理论及应用》进一步完善了体系架构，丰富了知识内容，并体现出鲜明的工程应用特色，引起广大高校师生的关注。

2024年，申报“普通高等教育‘十四五’国家级规划教材”之际，应广大读者与出版社的要求，以及教学改革的需要，作者思考再三，决定对本教材进行全面修订，形成《系统辨识理论及应用（第2版）》。第2版重新审视了全书的知识结构和表述形式，对各章节都进行了相应的删减、调整和更新。对部分章节重新编写，增加“教学课件”“习题解答”“课堂问答”等新形态教学资源，丰富了教材的形态，提高了易读性，更方便学生自学和教师授课。

该版本仍沿用以“系统描述与辨识模型”“辨识方法与数值计算”“辨识理论与性能分析”“辨识应用与实践” 四大知识板块为框架，交互穿插地组织知识内容。①“系统描述与辨识模型”知识板块主要论述线性时不变系统、线性时变系统和非线性系统的描述及其对应的模型结构，并归纳性地阐述传递函数模型类的结构，包括方程误差模型、线性回归模型、ARMAX模型、拟线性回归模型、Dynamic Adjustment模型、输出误差模型、BoxJenkins模型、一般结构模型等。②“辨识方法与数值计算”知识板块把辨识方法分成经典和现代两大类，包括相关分析辨识方法、谱分析辨识方法、最小二乘类辨识方法、线性回归辨识方法、梯度校正辨识方法、极大似然辨识方法、预报误差辨识方法、增广UD分解辨识方法、多变量系统辨识方法、EIV模型辨识方法、非均匀采样系统辨识方法、子空间辨识方法、拟线性回归辨识方法和闭环系统辨识方法等。③“辨识理论与性能分析”知识板块重点论述辨识信息含量、开环可辨识性条件、闭环可辨识性条件、递推辨识算法的一般性理论框架、基于数据集合性质的辨识算法一致性、收敛性、稳定性、有界性和模型参数估计的渐近分布性质等。④“辨识应用与实践”知识板块选择性地论述辨识目的、开环辨识实验设计、闭环辨识实验设计、采样时间选择、数据预处理、辨识准则选择、模型结构辨识、模型验证、辨识软件工具、辨识应用的一些实际考虑和辨识应用案例分析等。全书以工业过程应用为背景，围绕上述四大知识板块，既相互独立，又相互关联，用一种统一的观念论述辨识的理论和方法，并强调辨识是预报和控制的基础，三者构成相互支撑、互相渗透的知识链接，更有益于激发读者阅读兴趣，更能迎合课程教学的需要。

第2版共18章，与《过程辨识》和《系统辨识理论及应用》相比，论述方式仍然采用多层次结构，低层次上强调概念性和基础性，高层次上突出系统性和完整性。两者又都始于物理概念，遵循深入浅出，阐明简洁扼要，强调工程实践，不失内容的实用性，并始终以辨识课程教学为本。第2版新增的“教学课件”“习题解答”“课堂问答”等新形态课程教学资料，更有助于读者的辨识学习和探索。希望读者借助“教学课件”的丰富内容，充实自己的辨识课程教学； 通过“习题解答”的知识关联，更深层地理解辨识知识； 从“课堂问答”的“百问百答”中，摸索到学习辨识的脉络。

第1章论述辨识的一些基本概念，包括系统及外特性等价、模型及表现方式、辨识模型的近似特性、辨识定义及表达形式、最小二乘格式、辨识三要素、数据集条件、数据集信息含量、模型类、准则函数/损失函数、辨识算法原理、新息与残差、辨识内容与步骤、辨识模型的质量等。作为全书的起点，初学者应该认真细读，并在学习过程中经常加以回顾，对理解全书的内容会有意想不到的效果。

第2章论述系统描述和辨识模型，重点讨论系统时域描述与时域模型和系统频域描述与频域模型，包括线性时不变/时变模型，如ARX模型、ARMAX模型、Dynamic Adjustment模型、ARARMAX模型、测量误差模型、BoxJenkins模型、一般结构模型，以及非线性模型，如Volterra级数模型、非线性差分方程模型、Wiener组合模型、Hammerstein组合模型、Wiener非线性映射模型等。这章内容是从辨识需要的角度论述的，读起来会有特别的适应感。尤其是有关辨识模型的描述，强调了模型输出预报及其关于模型参数梯度的表达，从中会慢慢体会到它是构建系统辨识算法的关键。

第3章论述辨识信息实验设计，包括开环与闭环信息实验、“信息充足”与“提供信息”、持续激励信号、开环/闭环可辨识条件、辨识输入信号设计、Fisher信息矩阵及其性质、CramérRao不等式、模型参数估计精度测度、D最优输入信号设计及采样时间与数据长度的选择等。这章内容有点抽象，但它是学习系统辨识必须迈越的门槛，也是认知系统辨识的切入点。

第4章论述经典的辨识方法，包括相关分析频率响应辨识、相关分析脉冲响应辨识、WienerHopf方程、脉冲响应估计的统计特性、脉冲响应辨识步骤及M序列参数的选择、周期图法、平滑法、Hankel矩阵法、Bode图法、Levy法等。这章内容难度不大，然而所讨论的辨识方法具有很强的实用性，它是学习系统辨识算法的始点。

第5章论述最小二乘辨识方法，包括最小二乘原理、最小二乘辨识的假设条件、最小二乘辨识解、最小二乘的可辨识条件、最小二乘估计的几何意义、最小二乘估计的统计性质、最小二乘递推辨识算法、数据协方差矩阵的性质、新息与残差的关系、损失函数的递推计算、最小二乘递推辨识算法的性质、最小二乘递推辨识算法的几何解释、最小二乘递推辨识算法的收敛性、加权最小二乘辨识算法及其变形、遗忘因子算法、遗忘因子的作用及对辨识算法的影响等。这章讨论的最小二乘辨识方法是最基本、应用最广泛的一种辨识方法，其他辨识方法都是以最小二乘法为基础的，通过这章的学习会慢慢从中领悟到最小二乘法则的灵性。

第6章论述最小二乘类辨识方法，包括增广最小二乘法、广义最小二乘法、辅助变量法、相关二步法和偏差补偿原理及其算法等。这章可以看作最小二乘辨识方法的衍生，其基本思想都是通过极小化某准则函数来确定模型参数的，是最小二乘法则的各异体现。这章论述的辨识方法适应性强、应用范围广，极具工程应用价值，也会从中认识到最小二乘原理的广泛性和普适性。

第7章论述梯度校正辨识方法，包括梯度搜索原理、确定性与随机性梯度校正法、梯度校正补偿原理、权矩阵的选择、随机逼近原理、RobbinsMonro算法、KieferWolfowitz算法、随机牛顿法等。本章讨论的是一种沿着某准则函数负梯度方向逐步修正模型参数的辨识方法，具有一定的应用普适性，它扩充了系统辨识的思维方式。

第8章论述极大似然辨识方法及与之密切相关的预报误差辨识方法，包括极大似然原理、极大似然递推辨识算法、极大似然估计的统计性质、预报误差模型、预报误差辨识算法、预报误差估计的统计性质等。这章讨论的辨识方法其基本思想是使系统输出在模型参数条件下概率密度函数最大限度地逼近真实参数模型下的条件概率密度，从中会感悟到系统辨识思维的巧妙。

第5～8章论述了三种不同思想的辨识方法，构成了对辨识方法一个完整的认识： ①方程误差辨识方法，其基本思想是通过极小化某准则函数来估计模型参数； ②梯度校正辨识方法，其基本思想是沿着某准则函数的负梯度方向逐步修正模型参数； ③概率密度逼近辨识方法，其基本思想是使系统输出在模型参数条件下的概率密度函数最大限度地逼近真实模型参数条件下的概率密度。三种不同的思想构成了完整的系统辨识框架，在概率思维方式下所有的辨识方法都脱离不了这个框架。

第9章论述各种辨识算法之间的统一性，包括模型预报值及其关于参数的一阶梯度、辨识算法的一般结构、RGIA算法及其近似形式、单变量一般模型与状态空间模型辨识及一般结构辨识算法的实现等。这章内容揭示了各种辨识方法之间的内在联系，引入统一的模型结构，构成辨识算法的一般形式，显现了辨识算法的统一性，会有豁然开朗的感觉。

第10章论述模型结构辨识问题，包括单变量系统的模型阶次辨识，如Hankel矩阵判秩法、F检验法、AIC定阶法和最终预报误差准则法等，以及多变量系统的模型结构辨识，如Guidorzi方法。这章内容难度也不大，和第4章一样具有很强的实用性，也是学习系统辨识必须掌握的基本内容。

第11章论述利用Bierman的UD分解原理，构造一种基于增广UD分解的辨识算法，用于同时辨识模型参数和模型阶次，包括信息压缩矩阵及其作用、UD分解原理、数据移位结构、增广UD分解辨识算法、AUDIRLS算法、AUDIRFF算法、AUDIRELS算法、AUDIRIV算法等。这章内容是全新的，思想新、方法新，给人眼前一亮的感觉，从中会真正体会到“辨识是一只装满技巧的口袋”。

第12章论述多变量系统辨识方法，包括脉冲传递函数矩阵模型辨识、Markov参数模型辨识和输入输出差分方程模型辨识及增广UD分解辨识方法等。从某种意义上说，多变量系统辨识可以看作单变量系统的扩展，这不就等于告诉你，应该如何学习多变量系统辨识问题。

第13章论述系统输入输出受到噪声污染的EIV模型辨识问题，包括EIV模型结构、辅助变量最小二乘辨识方法、偏差补偿最小二乘辨识方法和L2最优辨识方法及其约束条件、正规右（左）图符号、补内因子、互质因子、vgap度量、Nyquist缠绕条件、右（左）半复平面等。这章内容可能会碰到一些数学麻烦，然而需要的是耐心，毕竟它是系统辨识研究领域的热点和难点。

第14章论述非均匀采样系统辨识问题，包括非均匀采样系统描述、非均匀采样积分滤波器、框架周期、曲线拟合多项式、曲线拟合积分、MOESP子空间辨识方法、N4SID子空间辨识方法、数据不完备情况下的高斯牛顿辨识方法、非均匀采样对辨识的影响、非均匀采样系统辨识收敛轨迹等。这章内容源于工程实际问题，值得好好认真领会，提出一种部分子系统或部分新息递推的辨识处置模式，其奇特的思维方式成为解决非均匀采样系统辨识问题的钥匙和源泉。

第15章讨论闭环系统辨识方法，包括闭环系统可辨识性概念、闭环系统可辨识性条件、开环辨识方法在闭环系统中的应用等。这章内容的要点是可辨识性问题，抓住关键，其他问题会迎刃而解，它反映了系统辨识另一方面的工程难度。

第16章论述递推辨识算法的收敛性及性能分析问题，包括ODE收敛性分析方法、ODE收敛性定理、RLS辨识算法的ODE收敛性分析、RLS算法误差界及收敛性分析、RFF算法误差界分析、RELS算法收敛性分析、RIV算法误差界分析等。这章内容纯属理论问题，对深入理解辨识算法非常有益，其中的妙处和吸引人的地方还是挺多的。

第17章论述辨识应用的一些实际考虑，包括辨识目的、系统分析、辨识实验设计、数据预处理、准则函数的选择、模型结构的选择、算法初始值的选择、遗忘因子的选择、噪声特性分析、噪信比计算、噪声方差/标准差估计、可辨识性、模型检验、模型转换及辨识的应用等。这章内容工程实践性强，最好能结合第1章阅读，或许会有新的启迪，或者结合工程应用项目阅读，一定会有特别的收获。

第18章论述三个典型的辨识应用案例，包括暖通空调系统的辨识应用、动车组列车的辨识应用和小卫星模拟装置的辨识应用，对提升读者的应用意识和能力，提高读者开展辨识应用的水平都有指导意义。

本书附录包括随机变量与随机过程、伪随机码（M序列）及其性质、矩阵运算和估计理论等，这些是阅读本书的数学基础。附录F是建议的“辨识实验研究”方案，如能结合相应章节的学习有选择地完成几个实验研究项目，对巩固所学的辨识知识和提高辨识的工程应用能力非常有利。

第2版有目的地增添了一些工程实践和实验研究内容，删减了复杂的数学演算过程，公开了课程教学需要的新形态资源，

字里行间还

提出一些引人深思、富有挑战性的问题，希望读者能感兴趣。

本书的出版得到清华大学自动化系许多老师的支持和勉励。在此，向所有的合作者、勉励者及

默默支持的家人表示衷心的感谢。

希望本书能成为读者学习系统辨识的窗口，探究辨识课程教学的门径，也希望读者能从中收获新颖的感悟，开拓更广的视野，启发另类的思维方式。限于作者的水平和学识，许多地方可能论述不当，甚至存在谬误，还望读者不惜雅正，在此深表感谢。

萧德云杨帆

于清华大学

2024年冬月