绪论1

第1章基本概念3

1.1数学归纳法3

1.1.1正整数集3

1.1.2数学归纳法5

习题1.16

1.2数环与数域7

1.2.1数环与数域的概念7

1.2.2整数环的一些整除性质9

1.2.3群、环与域11

习题1.212

第2章多项式13

2.1一元多项式及其运算13

2.1.1一元多项式的概念13

2.1.2一元多项式的运算14

习题2.117

2.2多项式的整除性17

2.2.1整除的概念与性质17

2.2.2带余除法19

习题2.220

2.3多项式的最大公因式20

2.3.1最大公因式与辗转相除法20

2.3.2两个多项式互素24

习题2.325目录[][2]目录[1][2]2.4多项式函数26

2.4.1多项式函数26

2.4.2多项式函数的零点28

习题2.430

2.5多项式的分解30

2.5.1不可约多项式30

2.5.2因式分解定理32

习题2.534

2.6重因式34

2.6.1重因式与重根34

2.6.2多项式的导数35

2.6.3重因式的判别法36

习题2.638

2.7实数与复数域上的多项式38

2.7.1复数域上的多项式38

2.7.2实数域上的多项式40

习题2.742

2.8有理数域上的多项式43

2.8.1有理数域上多项式的可约性43

2.8.2有理数域上多项式的有理根45

习题2.847

总练习题247

第3章行列式51

3.1行列式的引入与排列51

3.1.1行列式的引入51

3.1.2排列53

习题3.155

3.2n阶行列式55

3.2.1n阶行列式的概念55

3.2.2n阶行列式的性质58

习题3.261

3.3行列式按一行(列)展开62

3.3.1子式与代数余子式62

3.3.2行列式按一行(列)展开63

习题3.368

3.4克莱姆法则69

习题3.473

总练习题373

第4章线性方程组77

4.1消元法与矩阵的初等变换77

4.1.1消元法77

4.1.2矩阵与其初等变换78

习题4.185

4.2n维向量86

4.2.1向量的概念86

4.2.2线性表出88

习题4.290

4.3在Fn中向量组的线性关系91

4.3.1线性相关与线性无关91

4.3.2极大线性无关组93

习题4.395

4.4矩阵的秩95

4.4.1矩阵的秩的概念95

4.4.2矩阵的秩的性质98

习题4.4100

4.5线性方程组的可解性与解结构101

4.5.1线性方程组的可解性101

4.5.2线性方程组的解结构103

习题4.5108

总练习题4109

第5章矩阵112

5.1矩阵的运算112

5.1.1矩阵的线性运算112

5.1.2矩阵的乘法运算113

5.1.3矩阵的转置117

习题5.1118

5.2可逆矩阵119

5.2.1可逆矩阵的概念与性质119

5.2.2矩阵可逆的充分条件121

习题5.2123

5.3初等矩阵124

5.3.1初等矩阵的概念与性质124

5.3.2等价矩阵的概念与性质128

5.3.3利用初等变换求矩阵的逆131

习题5.3134

5.4分块矩阵134

5.4.1分块矩阵的概念与运算134

5.4.2分块矩阵的应用138

习题5.4141

总练习题5142

第6章向量空间145

6.1向量空间的概念与简单性质145

6.1.1向量空间的引入145

6.1.2向量空间的定义146

6.1.3向量空间的基本性质148

习题6.1149

6.2在向量空间V中向量组的线性关系149

6.2.1线性相关与线性无关149

6.2.2向量组之间的线性关系151

6.2.3向量空间V中的极大线性无关组153

习题6.2154

6.3基、维数与坐标155

6.3.1向量空间的基与维数155

6.3.2坐标157

习题6.3159

6.4基变换与坐标变换159

6.4.1基变换159

6.4.2坐标变换161

习题6.4163

6.5子空间164

6.5.1子空间的概念164

6.5.2生成子空间165

习题6.5167

6.6子空间的交与和168

6.6.1子空间的交与和的概念168

6.6.2子空间的维数公式171

6.6.3子空间的直和172

习题6.6174

6.7向量空间的同构174

6.7.1映射174

6.7.2同构映射175

6.7.3向量空间的同构178

习题6.7179

总练习题6179

第7章线性变换182

7.1线性变换的概念与性质182

7.1.1线性变换的概念182

7.1.2线性变换的性质183

习题7.1187

7.2线性变换的运算188

7.2.1线性变换的线性运算188

7.2.2线性变换的乘法190

7.2.3线性变换的逆192

习题7.2194

7.3线性变换的矩阵194

7.3.1线性变换与其矩阵的概念195

7.3.2线性变换与其矩阵的性质197

习题7.3200

7.4不变子空间201

7.4.1不变子空间的概念201

7.4.2用不变子空间寻找简单相似矩阵203

习题7.4205

7.5特征值与特征向量205

7.5.1特征值与特征向量的概念205

7.5.2特征多项式207

习题7.5211

7.6矩阵的对角化211

7.6.1矩阵可对角化的第一个等价条件211

7.6.2矩阵可对角化的第二个等价条件214

习题7.6216

7.7若尔当标准形介绍217

7.7.1若尔当矩阵217

7.7.2若尔当标准形219

习题7.7221

总练习题7221

第8章欧氏空间225

8.1欧氏空间的定义及度量225

8.1.1欧氏空间的定义225

8.1.2欧氏空间的度量227

习题8.1230

8.2规范正交基230

8.2.1规范正交基的概念230

8.2.2规范正交基的存在性232

习题8.2235

8.3子空间的正交关系235

8.3.1向量与子空间的正交关系235

8.3.2子空间与子空间的正交关系239

习题8.3241

8.4正交变换241

8.4.1正交变换的概念与性质241

8.4.2正交变换的分类244

8.4.3欧氏空间的同构244

习题8.4246

8.5对称变换与对称矩阵247

8.5.1对称变换的概念与性质247

8.5.2实对称矩阵的对角化248

8.5.3实对称矩阵的对角化步骤249

习题8.5251

8.6酉空间与酉变换介绍252

8.6.1酉空间的概念与性质252

8.6.2酉变换与对称变换253

习题8.6254

总练习题8255

第9章二次型258

9.1二次型及其矩阵258

9.1.1二次型的定义258

9.1.2二次型的化简与对称矩阵的合同260

9.1.3矩阵的相似与合同之间的关系263

习题9.1263

9.2用可逆替换简化二次型264

9.2.1配方法264

9.2.2矩阵法267

习题9.2270

9.3规范形270

9.3.1规范形的概念271

9.3.2惯性定理272

习题9.3274

9.4正定二次型274

9.4.1正定二次型的概念274

9.4.2二次型正定的等价条件275

9.4.3利用矩阵的顺序主子式判别其正定性276

习题9.4279

9.5双线性映射279

9.5.1量度矩阵的概念与性质279

9.5.2双线性映射与二次型282

习题9.5284

总练习题9285

参考文献287

绪论1第1章基本概念31.1数学归纳法3

1.1.1正整数集3

1.1.2数学归纳法5

习题1.16

1.2数环与数域7

1.2.1数环与数域的概念7

1.2.2整数环的一些整除性质9

1.2.3群、环与域11

习题1.213

第2章多项式14

2.1一元多项式与其运算14

2.1.1一元多项式的概念14

2.1.2一元多项式的运算15

习题2.118

2.2多项式的整除性19

2.2.1整除的概念与性质19

2.2.2带余除法21

习题2.222

2.3多项式的最大公因式22

2.3.1最大公因式与辗转相除法22

2.3.2两个多项式互素26

习题2.3282.4多项式函数29

2.4.1多项式函数29

2.4.2多项式函数的零点31

习题2.432

2.5多项式的分解33

2.5.1不可约多项式33

2.5.2因式分解定理34

习题2.536

2.6重因式37

2.6.1重因式与重根37

2.6.2多项式的导数38

2.6.3重因式的判别法39

习题2.641

2.7实数与复数域上的多项式42

2.7.1复数域上的多项式42

2.7.2实数域上的多项式44

习题2.746

2.8有理数域上的多项式46

2.8.1有理数域上多项式的可约性46

2.8.2有理数域上多项式的有理根49

习题2.851

总练习题251

第3章行列式55

3.1行列式的引入与排列55

3.1.1行列式的引入55

3.1.2排列57

习题3.159

3.2n阶行列式59

3.2.1n阶行列式的概念59

3.2.2n阶行列式的性质62

习题3.265

3.3行列式按一行(列)展开66

3.3.1子式与代数余子式66

3.3.2行列式按一行(列)展开67

习题3.372

3.4克莱姆法则73

习题3.477

总练习题377

第4章线性方程组81

4.1消元法与矩阵的初等变换81

4.1.1消元法81

4.1.2矩阵与其初等变换82

习题4.189

4.2n维向量90

4.2.1向量的概念90

4.2.2线性表出92

习题4.295

4.3向量组的线性关系95

4.3.1线性相关与线性无关95

4.3.2极大线性无关组98

习题4.3100

4.4矩阵的秩101

4.4.1矩阵的秩的概念101

4.4.2矩阵的秩的性质103

习题4.4106

4.5线性方程组的可解性与解结构107

4.5.1线性方程组的可解性107

4.5.2线性方程组的解结构109

习题4.5114

总练习题4115

第5章矩阵118

5.1矩阵的运算118

5.1.1矩阵的线性运算118

5.1.2矩阵的乘法运算119

5.1.3矩阵的转置123

习题5.1124

5.2可逆矩阵125

5.2.1可逆矩阵的概念与性质125

5.2.2矩阵可逆的充分条件127

习题5.2130

5.3初等矩阵130

5.3.1初等矩阵的概念与性质130

5.3.2等价矩阵的概念与性质135

5.3.3利用初等变换求矩阵的逆138

习题5.3141

5.4分块矩阵141

5.4.1分块矩阵的概念与运算141

5.4.2分块矩阵的应用145

习题5.4149

总练习题5149

第6章向量空间152

6.1向量空间的概念与简单性质152

6.1.1向量空间的引入152

6.1.2向量空间的定义153

6.1.3向量空间的基本性质155

习题6.1156

6.2在向量空间V中向量组的线性关系157

6.2.1线性相关与线性无关157

6.2.2向量组之间的线性关系158

6.2.3向量空间V中的极大线性无关组161

习题6.2162

6.3基、维数与坐标163

6.3.1向量空间的基与维数163

6.3.2坐标165

习题6.3167

6.4基变换与坐标变换168

6.4.1基变换168

6.4.2坐标变换170

习题6.4172

6.5子空间172

6.5.1子空间的概念173

6.5.2生成子空间174

习题6.5176

6.6子空间的交与和177

6.6.1子空间的交与和的概念177

6.6.2子空间的维数公式180

6.6.3子空间的直和181

习题6.6184

6.7向量空间的同构184

6.7.1映射184

6.7.2同构映射185

6.7.3向量空间的同构187

习题6.7189

总练习题6189

第7章线性变换192

7.1线性变换的概念与性质192

7.1.1线性变换的概念192

7.1.2线性变换的性质193

习题7.1198

7.2线性变换的运算199

7.2.1线性变换的线性运算199

7.2.2线性变换的乘法200

7.2.3线性变换的逆203

习题7.2205

7.3线性变换的矩阵206

7.3.1线性变换与其矩阵的概念206

7.3.2线性变换与其矩阵的性质209

习题7.3212

7.4不变子空间212

7.4.1不变子空间的概念212

7.4.2用不变子空间寻找简单相似矩阵215

习题7.4217

7.5特征值与特征向量217

7.5.1特征值与特征向量的概念217

7.5.2特征多项式219

习题7.5223

7.6矩阵的对角化224

7.6.1矩阵可对角化的等价条件224

7.6.2矩阵可对角化的等价条件226

习题7.6229

7.7若尔当标准形介绍229

7.7.1若尔当矩阵230

7.7.2若尔当标准形231

习题7.7234

总练习题7234

第8章欧氏空间238

8.1欧氏空间的定义及度量238

8.1.1欧氏空间的定义238

8.1.2欧氏空间的度量240

习题8.1243

8.2规范正交基243

8.2.1规范正交基的概念243

8.2.2规范正交基的存在性245

习题8.2248

8.3子空间的正交关系249

8.3.1向量与子空间的正交关系249

8.3.2子空间与子空间的正交关系252

习题8.3255

8.4正交变换255

8.4.1正交变换的概念与性质255

8.4.2正交变换的分类258

8.4.3欧氏空间的同构259

习题8.4261

8.5对称变换与对称矩阵261

8.5.1对称变换的概念与性质261

8.5.2实对称矩阵的对角化263

8.5.3实对称矩阵的对角化步骤264

习题8.5266

8.6酉空间与酉变换介绍266

8.6.1酉空间的概念与性质266

8.6.2酉变换与对称变换267

习题8.6268

总练习题8269

第9章二次型272

9.1二次型及其矩阵272

9.1.1二次型的定义272

9.1.2二次型的化简与对称矩阵的合同274

9.1.3矩阵的相似与合同之间的关系277

习题9.1277

9.2用可逆替换简化二次型278

9.2.1配方法278

9.2.2矩阵法281

习题9.2285

9.3规范形285

9.3.1规范形的概念286

9.3.2惯性定理287

习题9.3289

9.4正定二次型290

9.4.1正定二次型的概念290

9.4.2二次型正定的等价条件291

9.4.3利用矩阵的顺序主子式判别其正定性292

习题9.4294

9.5双线性映射295

9.5.1量度矩阵的概念与性质295

9.5.2双线性映射与二次型298

习题9.5300

总练习题9301

参考书303

第11章反常积分1

11.1反常积分的概念1

11.1.1无穷限积分1

11.1.2瑕积分3

习题11.14

11.2无穷限积分的性质与收敛判别4

11.2.1无穷限积分的性质4

11.2.2比较判别法5

11.2.3狄利克雷判别法与阿贝尔判别法7

习题11.29

11.3瑕积分的性质与收敛判别10

11.3.1瑕积分的性质10

11.3.2比较判别法11

习题11.313

总练习题1113

第12章数项级数15

12.1级数的收敛性15

12.1.1级数的基本概念15

12.1.2级数的柯西收敛准则16

12.1.3收敛级数的性质17

习题12.118

12.2正项级数19

12.2.1正项级数与比较判别法19

12.2.2比式判别法与根式判别法21

12.2.3积分判别法23

12.2.4拉贝判别法与高斯判别法24习题12.226

12.3一般项级数28

12.3.1交错级数28

12.3.2绝对收敛与条件收敛29

12.3.3绝对收敛与条件收敛的性质30

12.3.4阿贝尔判别法与狄利克雷判别法32

习题12.334

总练习题1235

第13章函数列与函数项级数37

13.1函数列的一致收敛性37

13.1.1函数列及其一致收敛性的概念37

13.1.2函数列一致收敛性的等价条件39

习题13.140

13.2函数项级数的一致收敛性41

13.2.1函数项级数及其一致收敛性的概念41

13.2.2函数项级数一致收敛性的判别法43

习题13.245

13.3函数列与函数项级数的分析性质47

13.3.1连续性47

13.3.2可积性48

13.3.3可微性49

习题13.351

13.4幂级数52

13.4.1幂级数的基本概念52

13.4.2幂级数的性质54

习题13.457

13.5函数的幂级数展开58

13.5.1泰勒级数58

13.5.2初等函数的幂级数展开60

习题13.563

总练习题1364

第14章傅里叶级数67

14.1傅里叶级数67

14.1.1傅里叶级数的定义67

14.1.2傅里叶级数收敛定理69

14.1.3以2π为周期的傅里叶级数展开70

习题14.172

14.2以2l为周期的函数的展开73

14.2.1以2l为周期的函数的傅里叶级数73

14.2.2偶函数与奇函数的傅里叶级数74

习题14.277

14.3收敛定理的证明77

14.3.1贝塞尔不等式77

14.3.2收敛性定理的证明79

习题14.381

总练习题1481

第15章多元函数的极限与连续83

15.1平面点集与多元函数83

15.1.1n维空间83

15.1.2平面点集83

15.1.3多元函数85

15.1.4二元函数的图像86

习题15.189

15.2二元函数的极限90

15.2.1R2上的完备性定理90

15.2.2二元函数的极限91

15.2.3收敛的条件92

15.2.4累次极限93

15.2.5非正常极限95

习题15.295

15.3二元函数的连续性96

15.3.1连续的定义96

15.3.2点连续的性质98

15.3.3闭区域上连续函数的性质99

15.3.4一致连续性100

习题15.3101

总练习题15101

第16章多元函数微分学103

16.1偏导数与全微分103

16.1.1偏导数103

16.1.2全微分104

16.1.3可微的条件104

16.1.4可微的几何解释106

16.1.5近似计算106

习题16.1107

16.2复合函数微分法109

16.2.1多元复合函数的结构109

16.2.2复合函数的求导法则109

16.2.3复合函数的全微分111

16.2.4方向导数112

16.2.5梯度114

习题16.2114

16.3泰勒公式与极值116

16.3.1高阶偏导数116

16.3.2复合函数的高阶偏导数119

16.3.3二元函数的中值公式与泰勒公式120

16.3.4二元函数的极值121

习题16.3123

总练习题16125

第17章隐函数定理及其应用127

17.1隐函数127

17.1.1隐函数的概念127

17.1.2隐函数求导举例129

习题17.1131

17.2隐函数组132

17.2.1隐函数组的概念132

17.2.2隐函数组存在定理133

17.2.3反函数组与坐标变换135

习题17.2136

17.3几何应用138

17.3.1曲线的切线与法平面138

17.3.2曲面的切平面与法线140

习题17.3141

17.4条件极值142

习题17.4146

总练习题17146

第18章含参变量积分149

18.1含参变量的正常积分149

18.1.1概念149

18.1.2分析性质149

18.1.3实例152

习题18.1153

18.2含参变量的广义积分154

18.2.1一致收敛性及其判别法154

18.2.2含参变量无穷限积分的性质158

18.2.3拓广160

习题18.2161

18.3欧拉积分162

18.3.1䥺SymbolGAp函数162

18.3.2Β函数165

18.3.3䥺SymbolGAp函数与Β函数的关系166

习题18.3166

总练习题18167

第19章重积分169

19.1二重积分的概念169

19.1.1引入与定义169

19.1.2可积的条件170

19.1.3二重积分的性质172

习题19.1173

19.2直角坐标系下二重积分的计算174

19.2.1基本计算公式174

19.2.2平面区域的构型与二重积分的计算176

习题19.2178

19.3二重积分的变量替换179

19.3.1二重积分的替换公式180

19.3.2用极坐标计算二重积分182

习题19.3186

19.4三重积分187

19.4.1三重积分的概念187

19.4.2三重积分的计算188

习题19.4193

19.5三重积分的变量替换194

19.5.1柱面坐标变换194

19.5.2球面坐标变换196

习题19.5198

19.6曲面的面积199

19.6.1曲面的面积的定义199

19.6.2曲面面积的计算199

习题19.6202

19.7三重积分在物理上的应用203

19.7.1质心203

19.7.2转动惯量204

19.7.3引力205

习题19.7206

总练习题19207

第20章曲线积分与曲面积分210

20.1第一型曲线积分210

20.1.1基本概念210

20.1.2计算211

20.1.3例题213

习题20.1214

20.2第二型曲线积分216

20.2.1基本概念216

20.2.2计算217

20.2.3推广220

20.2.4两类曲线积分的联系221

习题20.2222

20.3格林公式及其应用223

20.3.1区域连通性的分类223

20.3.2格林公式223

20.3.3应用225

习题20.3228

20.4曲线积分与路径的无关性228

20.4.1与路径无关的定义与条件228

20.4.2应用230

20.4.3求原函数231

习题20.4232

20.5第一型曲面积分233

20.5.1概念233

20.5.2计算234

习题20.5237

20.6第二型曲面积分238

20.6.1曲面的侧238

20.6.2有向曲面上的正侧面积微元向量239

20.6.3第二型曲面积分的概念239

20.6.4第二型曲面积分的计算241

20.6.5两类曲面积分的联系244

习题20.6246

20.7奥高公式与斯托克斯公式246

20.7.1奥高公式246

20.7.2简单的应用247

20.7.3斯托克斯公式249

20.7.4应用250

20.7.5曲线积分与路径无关的条件252

习题20.7253

20.8场论初步254

20.8.1场的概念254

20.8.2数量场的方向导数与梯度255

20.8.3向量场的流量与散度256

20.8.4向量场的环流量与旋度257

总练习题20258

参考书目261