本书涉及有关自然数的本体论和认识论的基本问题。十九世纪后半叶，多位数学思考者、哲学思考者围绕自然数这一概念展开过一系列探索。其结果各有所长、各有千秋，但都不尽如人意。原因在于人们只注意到自然数的有限基数特点而疏忽了自然的实在的刚性的序特点。我国古代充满智慧的先人们则早已驾轻就熟地应用这种序结构来表达思想。 本书试图从自然界的序现象出发，结合我国古代先人应用序的智慧，阐明这种几乎无处不在的“序结构”如同到处可见的“几何结构”一样，是人类一种来自生活经验的认识之源，有关自然数及其运算律的认识也和有关几何知识的认识一样源于对客观世界的感知。本书试图以严格的数学方式来论证自然数这一概念从其依赖的本源到抽象独立出来，成为柏拉图所说的“永恒之物”的自然和典型的思维路径，以及从自然数到实数的根本发展途径的典型性，从而对有关数概念的一些认识论问题提出具有说服力的见解。

冯琦，湖北松滋人，1955年4月出生。哈尔滨工业大学计算机软件专业本科毕业；美国宾州州立大学数学专业博士毕业。曾任新加坡国立大学数学系讲师、高级讲师、教授；曾任清华大学数学系教授；曾任中国科学院数学所研究员、数学所副所长，以及中国科学院数学与系统科学研究院研究员；现为清华大学人文学院哲学系访问学者。专业研究方向为数理逻辑、集合论。著有《数理逻辑导引》(2017)、《线性代数导引》(2018)、《集合论导引》(3卷，2019)、《基本逻辑学》(2020)、以及《逻辑与发现》(预计2022)，均有科学出版社出版。

序 言 Humanity always arithmetizes. 人类总是算术化。 ——戴德金，《何为数，何当为数？》 几乎每一个人自幼开始就学着数数、认数。可以说从小开始，自然数就是大家日常打交道的对象之一。到上小学的时候，我们不仅更为熟练地数数、认数，更是花不少时间学习如何计算各种各样的数值等式和大小比较的不等式，学习算术加法和乘法的交换律、结合律、分配律，等等。可是，何为数？何当为数？这里的问题不仅涉及有关数的本体论和认识论的问题，涉及关于数的语义解释以及真假判定问题，还涉及数学的基础问题。这不仅是戴德金问过的问题，事实上也是一个自古希腊开始无数思想者都问过的问题。他们不仅发问，而且也都各抒己见，从不同的角度对这样的问题给出自己的解答。很明显，这样的问题也和其他哲学问题一样是开放型问题，是那种很难有完全令人信服的终极答案的问题。纵观迄今为止的所有具有代表性的解答，许多涉及根本的解答的确各有不尽如人意之处。尤其是，自然数这一概念究竟来自何处？到底是先验的，还是后验的？算术律的真性到底是由什么确定的？依据是什么？这些问题似乎依旧还有值得进一步深究的地方。 在这里，本书试图以自然界中自然产生的“序”现象为本，从我国古代先人们智慧地应用“序”的事例出发，将“自然数”解释为“自然离散线性序序结构”在“序同构”分类下的“序型”，将“自然数”之间的“大小比较”还原成“自然离散线性序”之间的“嵌入”比较关系，将“自然数加法”还原成具体的“自然离散线性序序结构”之间的“线性序聚合”，将“自然数乘法”还原成具体的“自然离散线性序序结构”之间的“双线性序整合”。而这种...