1350年前，牛顿和莱布尼兹在研究天文和物理的过程中提出了微积分的思想，此后微积分在解决数学、物理学、社会科学、生物学和经济学问题的过程中发挥了不可替代的作用，显示了巨大的威力，这是因为微积分能够将复杂问题通过一系列法则和自然的推理转化成简单问题. 长期以来，在给经济管理类专业学生讲授微积分时存在这样的倾向：只介绍基本的概念和结论以及简单的经济应用，而缺乏数学思维和数学方法的训练. 这样做的直接后果是忽略了对学生数学思考能力的培养，没有实现大学数学教育的本来功能，并且所谓简单的经济应用也是对人为杜撰的经济问题简单地应用一下数学结论，从而影响了学生学习数学的积极性. 著名数学大师林家翘说过： “应用数学的意义就在于将数学的严密和精确引入经验学科，将这些学科中的实验问题归结或表述为能运用运算手段处理的数学问题，从而促进经验科学的发展.” 在本书中我们尝试将数学的思想、概念、方法、结论渗透到解决实际经济问题的过程中，实现微积分的思想性、知识性和可读性的统一，从而既提高学生的学习积极性又使学生的数学思维能力得到极大的提高，为将来解决更复杂的问题奠定必要的数学基础. 1. 为什么研究经济要使用数学呢？ 差不多自经济学作为一门科学出现起，数学就在说明经济思想、描述经济现象、研究经济问题中扮演着重要的角色. 例如，价格、需求、供给、增长率、利润、成本、收益等这些经济学概念如果没有数量表示就没有丝毫意义，更为重要的是数学可以帮助我们研究这些数量之间的关系. 单纯文字探讨的经济知识不但空洞而且用起来往往出错，当然数学工具的运用存在得当与否的问题，但是排斥数量分析的研究结果，在实践中肯定是没有什么价值的. 事实上我们很少有人决定一个人是否需要工作，而是苦于究竟干多少工作才能使我们的生活感到更幸福. 目标管理学的创始人之一德鲁克(P. Drucker)曾经感叹：“美国政府只向那些用数学公式写作的研究人员提供资金，而不建立数学模型的学者顺理成章地被拒之门外.” 1970年诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森(P.A.Samuelson)认为数学对于理解整个经济学是本质的. 瑞典皇家科学院颁发的诺贝尔经济学奖是经济学界的最高学术奖励，自1969年至2005年，共有57位经济学家获此殊荣. 几乎所有获奖者的研究工作都是运用数学去解决他们面临的经济问题. 2. 经济学家是怎样使用数学来研究经济问题的呢？ 首先用数学语言把一个经济现象或经济问题表示出来或近似表示出来——建立数学[1]〖2〗[3]经济数学： 微积分新编（上册）前言[3]模型. 在这个过程中首要的任务是分析和确定自变量与因变量，然后对于自变量和因变量收集数据(通过图书馆、网络或者自身经验)，并用表格的形式来表示数据，将数据描点可以估计出因变量和自变量之间的联系，从而确定出反映这种联系的方程或函数，也就是建立了数学模型. 然后，经过数学的演绎、分析、推理、计算，得出数学上的结论——模型求解. 最后用这些结论去分析、解释提出的经济现象或经济问题. 现举一个简单的例子：假设市场上有一种数量为450t的商品，问按什么价格出售才能使收益最大？ 按照上面介绍的做法，我们来回答这个问题：首先，确定自变量和因变量. 在这个问题中有两个变量，一个是价格，我们设为p，另一个是需求量，设为q. 为了解决我们的问题，应该设价格是自变量，需求量是因变量. 然后通过实际调研或查阅统计资料收集数据. 为了说明问题，我们假设下表是关于该产品的价格和需求量的历史数据：p/人民币元161820222426283032q/t500460420380340300260220180通过简单的观察我们发现价格的变化与需求量的变化成比例，因此有q-500p-16=460-50018-16即q=820-20p，这样收益R(p)=(820-20p)p.按照问题的要求，需求R(p)=(820-20p)p的最大值点，由中学的数学知识我们知道，当价格为20.5元时收益最多. 对于商家来说，在这个价格下卖出的商品数量是410t，剩下的商品即使扔掉也比降价全部卖掉划算. 当然上面的例子是一个理想化的问题. 第一，我们给出的数据比较少并且非常有规律，这样比较容易就得到了收入和价格关系的数学模型；第二，这个模型比较简单，很容易求解. 但是，实际问题要比这复杂得多. 首先，对于规律不是特别明显的数据如何建立模型，其次如果模型很复杂如何求解，最后检验这个模型的解是否与实际问题吻合或者相差多少，所有这些都依赖于我们具有的数学知识的多寡和数学能力的高低. 修完本课程后我们可以解决(或部分解决)以下问题： 1. 任何一种产品的产量与各种生产要素的投入有关,在一定的总成本下, 如何分配各种生产要素使产量达到最大,或在产量一定的条件下使总成本最小? 2. 王先生贷款100万元(人民币)买房，设银行贷款利率为10%. 问： (1) 如果王先生每月还款3000元，多少年能还清贷款？ (2) 如果王先生准备20年还清贷款，每月最低还款额是多少？ (3) 王先生为了避免永远还不清贷款，每月最低还款额是多少？ 3. 消费税以最终产品为课税对象,消费者是以含税价格支付货款.在收入水平等因素既定时,含税价格越高,需求量就越少,这直接影响到消费者和生产者的利益以及国家税收收入.如何设计消费税率,使国家在得到尽量多的消费税收入的同时,尽量使消费者和生产者的利益损失减少到最低程度? 4. 两家生产同样同质产品的企业如何确定自己企业的产量, 使得利润达到最大? 5. 某育种场成功地培育出一种新的植物改良品种,在推广中反映很好,市场对该新品种的种子有大量需求.该植物是一年生的,每年生产的种子,一部分留下明年播种,另一部分销售到市场.该育种场面临的问题是： 究竟每年留种和销售的比例各为多少才能达到最好的经济效益? 6. 向银行贷款要支付利息，最常用的计算利息的方法是复利记息，也就是在贷款一期之末结息一次，再将利息转为本金，即和原来的本金一起作为下一期的本金而产生利息.如果将记息期限缩短为一个瞬间, 即此刻的利息在下一时刻马上记入本金, 设年利率为12%, 贷款1万元, 那么按照这种记息方式贷款一年应该付多少利息? 7. 近些年许多国家都实行持续的预算赤字，这导致了国债的持续增长，因此人们担心这一趋势会导致国家破产(债务过多，利息支付超过了国民收入). 实行赤字预算的国家必然走向破产吗？怎样才能避免？ 致同学： 著名数学教育家乔治·玻利亚(George Polya)说过：“解决一个重大问题自然是伟大的发现，其实任何一个问题的解决都会有所发现. 你解决的问题也许很平凡，但如果解决问题的过程挑战了你的好奇心，激发了你的创造力，特别地，如果你是以自己的方式去解决问题的，那么你就会经历一个紧张的过程，最终品尝到发现的喜悦.” 学习微积分，完全不同于阅读一份报纸或听历史小说，即使同学们对某一部分或某一个概念学了不止一遍还是没有理解，也千万不要灰心，虽然现在不懂，只要坚持思考，在某一个时点你会突然明白，恍然大悟——啊，原来是这样的，从而品尝“发现”的喜悦. 俄国教育家乌申斯基(Ushinski)曾说： “学习中并不是所有的东西都是有趣的, 一定有而且应当有枯燥无味的东西.” 微积分是人类智慧的最伟大的结晶，是一门令人激动的学科.希望同学们不仅能够发现它的实用性，还能够发现它的内在美. 朴素微积分思想〖*2〗形象认识微积分人们可能没有留意，人的任何动作都是连续变化的. 从下往上举手，无论是快还是慢都是连续变化的. 那么要如何捕捉这样的变化过程呢？或者说如何再现这个连续变化过程呢？请大家回想一下动画片的制作过程. 首先将要描述的一个动作画成几十帧图片，将图片排成顺序，相邻的两帧图片的动作变化相差很小，然后以每秒几十帧的速度播放时，整体上那个动作就再现了出来. 之所以会这样就是因为后一帧比前一帧只是在动作上有了非常微小的变化. 观察动作中(一个变化过程)的微小变化量就是所谓的微分. 相反，将一系列微小的变化量连接起来就是所谓的积分. 你可能已经注意过如果各帧图片间动作上的变化大，放出来就不自然了. 因此为了使动作自然，需要减少各帧图片间的变化(当然这种变化越小越好，这就是微分的思想)，也就是增加每秒钟的图片帧数，即要尽量缩小时间变化的幅度. 瞬时速度和微分 假设某人徒步旅行去登山. 最初走的是平缓的上坡，接下来是平坦的道路，再接着是陡峭的上坡直到山顶，下山是平缓的直到山底. 假设全部路程是18km，除去休息时间共用了6h，平均速度=步行距离/步行时间=18/6=3（km/h）. 但是实际上行走的速度并不总是3km/h. 比如，上坡时自然要比走平地慢，如果是陡峭的上坡当然就会更慢. 最后下坡时速度一般会比较快. 也就是说，实际上步行的速度并不是固定的.现在问经过点P时的速度是多少？即在点P的瞬时速度是多少？在回答这个问题之前要先弄明白，何谓点P的瞬时速度呢？ 有人会想：因为1s大致相当于瞬间，求得从点P出发1s内移动的距离，再以距离除以时间，以此作为点P的瞬时速度，这是不对的. 因为这样算出来的只是从点P出发后一秒时间内的平均速度. 既然这样不行，可以考虑缩短时间间隔. 如果从点P出发0.5s内移动的距离，再以距离除以时间，便可知从点P出发后0.5s时间内的平均速度，如此做下去，0.25s内、0.125s内、……不断缩小时间间隔，得到在该时间间隔内的平均速度，在第2章我们定义瞬时速度为当时间间隔趋于0时平均速度的极限. 有的同学也可能会说既然时间间隔越来越小，索性将时间间隔设定为0吧？这想法听来不错，但是这样一来时间停止，移动距离也为0了. 也就是说，使时间间隔逐渐趋于0，与时间间隔为0，两者之间有着根本性的不同. 也可以说“时间间隔逐渐趋于0”正是微分学的本质. 曲边图形面积和积分 面积是个相当原始的直觉概念. 孩童从呀呀学语起，就知道哪张馅饼大，哪块蛋糕小.但是，读到高中毕业能够明确面积具体含义的平面图形，也只不过是由直线围成的几何图形，即矩形、平行四边形、三角形、多边形，而由曲线围成的图形也只有圆而已. 明确由曲线围成的图形(被称为曲边图形)的面积的含义在微积分产生之前真的很难. 下图是由曲线围成的，在它的内部画上长方形的图形. 宽度相等的长方形的长边并排着，紧接在图形的内部. 此时可知，长方形面积的和与曲边图形的面积相比，所少的仅仅是边角空隙的部分. 现在将长方形的宽度减半，那么就可以装入几乎是2倍数目的长方形. 这时我们可以看到空隙比刚才减少了. 这是因为，越是减小长方形的宽度，长方形面积的和越接近曲边图形的面积. 在曲边图形的内部并排长方形，相当于以长方形分割曲边图形，于是减小长方形的宽度，可以使长方形面积的和更接近曲边图形的面积. 也就是说，宽度无限变小的长方形的面积的和将成为曲边图形的面积，这个过程就是积分. 从上面关于微分和积分的讨论，我们看到“无限细分”是微分和积分的关键.不论是“瞬时速度”还是“曲边图形面积”，两者的共同点是将“时间间隔”或“长方形宽度”无限缩小，这正是微分积分的奥秘. 本书使用说明： (1) 本书的解读资源是自身包含的，不需要特殊的预备知识(甚至高中数学知识)，但基本的数学思考能力是需要的. （2） 考虑到学生的个性化需求，本书的深度高于现行经济和管理类微积分教材，楷体部分为选学内容. 本书由侯吉成主编. 第1～3章由侯吉成编写； 第4章由李冬香和孟祥花编写；第5～7章由孟祥花和李冬香编写；第8～9章由张炳江编写.每章后面的数学实验及附录A由闻小永编写. 插图由张炳江绘制. 全书由侯吉成统稿. 在本书的编写过程中，参考了许多国内外教材. 清华大学出版社对本书的编审、出版给予了极大的支持和帮助. 北京信息科技大学教务处、理学院、北京高校数学教育发展研究中心、北京信息科技大学教材建设项目(5028023915)和北京市教委项目(PXM2009014224074362)也给予了大力支持，在此一并表示感谢！ 由于编者水平有限，书中一定有不少疏漏之处，希望读者批评指正，使本书不断完善.

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