最短时间原理

17世纪60年代，人类引逗光线的本领日渐高超，有关反射、折射的归纳性法则也已初现端倪。首位尝试解答这一“为什么”的天才终于在万事俱备之际乘着东风翩然而至，他便是来自法国的职业法律顾问兼“业余”数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）。弗吉尼亚·伍尔夫（Virginia Woolf）曾说过：“所谓天才就如同流星一样，他们划过夜空，撕破黑暗，道出真相，然后消失。”费马的一生便是对这句话最为生动的诠释。这位命运的宠儿衣食无忧且与世无争，从律师到法官，他表面上循规蹈矩，过着与其贵族身份相符的平顺生活；而私底下，他却悄悄为自己营造了一整座美轮美奂的思维殿堂，像个孩童一般流连其间、尽情玩耍。

费马惯于独自潜行，他终生远离学术圈，却也偶尔捉狭地浮出水面冒个泡，写上一封短信给当时的某位权威教授，将他最近游玩时无意间瞥见的美妙景象透露稍许，微微地撩拨一下学界的神经：一个原本无意流传后世的“费马大猜想”——xⁿ+yⁿ=zⁿ，当整数n＞2时，方程无解——令千万逻辑狂人挠破头皮求证了足足358年；另一个关于多级指数的猜想——（2的2ⁿ次方）+1一定是素数——又让众多数论名家信以为然、琢磨良久，最终却发现那是错的……关于费马的传奇足有一大箩筐，可惜此处留白太小，写不下。现在，让我们先着重来领略一下费马殿堂的明珠“最短时间原理”的风采吧，一个把数学当娱乐的顽童一不小心道破了宇宙的天机。

大约1662年前后，费马在他某张信稿边页以其一贯的潦草笔锋轻描淡写地留下了一行小字：“在从一点行进到另一点所有可能的路径中，光所选择的一定是耗时最短的路径。”这便是赫赫有名的“费马最短时间原理”。也许你会想：这不显而易见嘛，只要足够机灵，放着捷径谁还愿意绕远道呢？但在费马之前，还鲜有人尝试把自己融入一束光来思量其处境。况且一条论断之所以能被冠以“原理”头衔，仅靠揣度是不够的，它必须严格建立在事实与逻辑的双重基础之上。下面，请你试着玩几个简单的几何游戏，来证明这一原理吧（参见附录一）。

耗时最短，实则意味着跑得最快。速度与角度，两个原本风马牛不相及的物理量通过费马原理竟微妙地联系到了一块儿，这不得不说是对大自然的一次深刻洞见。不仅如此，费马对光行为那颇具人性化的诠释总透着一股子说不清道不明的刁钻气息，自问世之日起数百年来，它就像费马本人一样，激起的赞美与嘲讽两相滔滔，至今仍不绝于耳。按照斯涅耳定律，光从光源出发之后，若碰到不同介质，由于事先已约定好折射率，它只需依照老规矩及时调整方向，便可在各介质间弯来折去、畅行无阻了。整个过程自先而后，与惯常所期待的因果律恰相吻合。然而，最短时间原理的横空出世却打破了这片祥和：如果说每趟旅程都必须考虑时间损耗，那么在出发之前，光是如何确定自己将驻步何方，途中又会遭遇怎样的流转与机变的呢？从A到B，它可以直奔主题，也可以醉鬼似地打着旋晃荡过去，精力充沛的话，甚至可以扑腾到海角天涯再折返回来……退一步说，即使能够预知最终落点，它究竟该采用何种方式来寻出最优路线呢？

本章我们暂且不去探究光是如何自三千弱水中毫不犹疑地取出了属于自己的那一小瓢，仅只考虑它能于事件发生之前便知晓结果这一点，就足令众人头疼不已。试想，假如你是一束光，正准备从A点去往B点，依据时空王国新近颁布的“最短时间章程”，你不仅得知道目的地B的精确位置，更需详细了解沿途将经过几层界面，各界面的具体位置，各介质分别是什么……每段路况皆无疏漏，如此才有可能定制最优方案。倘若你尚未摸清状况便贸然前行，闷头一阵疾驰之后，猛然撞见一界面，这才临时决定进退转圜，势必得反复修正原初的轨迹。而既然还有调整的余地，则意味着它并不是上上之选，比起动身之前一口气描画的路线，势必耗时更多。因此，“费马章程”若想顺利施行，光就必须在跨上起跑线的瞬间便对所有的选择都了然于心，并早早做好计划——沿着结果去谱写过程，这简直就是一场逆时而上的盛大游行！“先”和“后”、“因”与“果”颠倒错乱，原本规规整整的逻辑拼图霎时被震得七零八落，弥散不知所踪。

与我们形影相随的光背后竟藏匿着如此纷繁的秘密。随着实验器材的改良，学者们进而又发现，费马对光行为的解读仍不够全面，光程除了取极小值之外，有时也会取定值（例如当光源位于椭圆反射镜的焦点之一时），必要时甚至还会取极大值（这需要耍点儿花招，对光进行“诱骗”。例如仍把光源置于椭圆镜的任意焦点上，再紧贴椭圆内壁镶嵌一块抛物镜，则光线必定落于抛物面底端）。因此，费马原理最为精确的表述应该是：“过两个定点A、B的光总选择光程一阶变分为零的路径。”多年以后，随着人类对世界的了解不断深入，最短时间原理渐渐化身成羽翼更为丰满的“最小作用量原理”，傲然翱翔在诸如广义相对论、量子场论等现代物理各前沿阵地上空。然而，有关行程的诡谲思辨不过是光奉献给世人的一碟开胃小菜而已，觥筹交错间，一场从古典力学到量子力学的思维盛宴正缓缓拉开序幕……